Kleinster perfekter magischer Würfel gefunden

Am 13. November meldete Walter Trumps Sohn Daniel beiläufig beim Mittagessen, dass sein vom Vater mit dubioser Software „okkupierter“ Rechner irgendwas mit 30 Diagonalen gemeldet hätte - etwas nach dem schon Fermat, Leibniz und massenhaft andere Mathematiker und Hobbyisten seit Jahrhunderten vergeblich gesucht hatten: den kleinsten perfekten magischen Würfel.

Ein magischer Würfel ist die dreidimensionale Erweiterung eines magischen Quadrates. Solche magischen Quadrate der Ordnung n zeichnen sich ja dadurch aus, dass die Zahlen von 1 bis n² in n Zeilen und n Spalten so eingetragen sind, dass sich jede Zeile und jede Spalte zur gleichen magischen Konstante (n² + 1) · n/2 aufsummiert. Auch in den Diagonalen muss sich dieselbe magische Konstante ergeben. Mit solchen geheimnisvollen Quadraten beschäftigen sich Zahlenkünstler schon seit Jahrtausenden, legendär ist etwa das „Lo Shu“ aus dem alten China, das einzige magische Quadrat der Ordnung 3 (abgesehen von den Symmetrien durch Spiegeln und Drehen). Berühmt geworden ist vor allem das magische Quadrat in Dürers „Melencolia 1“, in welchem er das Entstehungsjahr 1514 in der Mitte der letzten Reihe unterbrachte. Bei diesem Dürerschen 4 x 4-Quadrat ergeben auch bestimmte 2 x 2-Teilquadrate die gleiche Summe 34 („gnomonisch“) und außerdem ist die Summe von je zwei symmetrisch um den Mittelpunkt gelegenen Zahlen immer gleich 17 („assoziativ“). Kleine Preisfrage an die c't-Leser: wie lange hätte Dürer warten müssen, wenn er 1514 verpasst hätte und er somit die nächstmögliche Jahreszahl in einem gnomonischen und assoziativen 4 x 4-Quadrat an gleicher Stelle hätte unterbringen wollen?

Fermat beschrieb dann im Jahre 1640 die Erweiterung des magischen Prinzips auf Würfel - konnte aber keine perfekten magischen Würfel (abgesehen von dem Trivialwürfel der Ordnung 1) vorweisen - oder hatte zumindest keinen Platz mehr, einen solchen am Buchrand zu notieren ...

Beim magischen Würfel der Ordnung n sind die Zahlen 1 bis n³ auf Spalten, Zeilen und Säulen so zu verteilen, dass sie sich jeweils zur magischen Konstanten S_n = (n³ + 1) · n/2 aufsummieren, dies muss auch für die vier Raumdiagonalen gelten. Perfekt ist der Würfel aber erst dann, wenn sich auch die Zahlen in allen Flächendiagonalen zu S_n summieren. Es gibt vier magische Würfel der Ordnung 3 und etwa 7 Billionen der Ordnung 4. Darunter ist aber kein einziger perfekt, wie Richard Schroeppel im Jahre 1972 bewies. Man konnte aber schon im 19. Jahrhundert perfekte Würfel der siebten und achten Ordnung konstruieren. Der englische Geistliche A. H. Frost nutzte seine Missionszeit im indischen Nasik, um einen perfekten Würfel der Ordnung 7 auszuknobeln, den er 1866 in einer englischen Mathematikzeitschrift veröffentlichte. Frost hatte Glück mit einer Erweiterung der Konstruktions-Methode für magische Quadrate, die vom großen Schweizer Mathematiker Leonhard Euler stammte. Einige Jahre später, im Jahre 1875, wurde der in Deutschland geborene amerikanische Kunstmaler Gustavus Frankenstein beim Achter-Würfel fündig.

Auf der Suche

Trotz heftigen Computereinsatzes blieben bis vor kurzem Erkenntnisse über die mögliche Perfektion von Würfeln der Ordnungen 5 und 6 aus. Brute-Force-Ansätze scheiterten angesichts der gigantischen Anzahl von Möglichkeiten. Trickreiche Wege sind daher gefordert und weniger rohe Rechenpower. Der Autor versuchte es zunächst mit einem magischen 3 x 3 x 3-Würfel mit den Zahlen 50 bis 76 im Zentrum eines Fünfer-Würfels und verteilte die restlichen Zahlen unter Beachtung bestimmter Symmetrien drum herum und konnte so immerhin eine Vorstufe, den so genannten konzentrischen magischen Würfel mit 18 magischen Diagonalen konstruieren. Der gleiche Lösungsansatz mit einem Würfel sechster Ordnung rund um einen magischen 4 x 4 x 4-Würfel erwies sich als viel einfacher und lieferte am 1. September 2003 schon nach wenigen Minuten Rechenzeit auf einem auf 2,75 GHz übertakteten Celeron-System - programmiert übrigens in gutem alten GFA-Basic gb32 - eine Lösung: Der erste perfekte magische Würfel der Ordnung 6 war gefunden. Selbst mit einem C64 hätte man solche Würfel finden können - vermutlich hat das nur keiner versucht, weil es solche Würfel nach einhelliger „Experten“-Meinung gar nicht geben sollte.

Die Frage nach dem perfekten Würfel der Ordnung 5 war aber noch offen. Kleine Verbesserungen des Verfahrens führten zwar dazu, dass am 18. September nach etwa einer Woche Rechenzeit erstmals ein Würfel der Ordnung 5 mit 28 magischen Diagonalen gefunden wurde, doch es hätte auf diesem Weg hochgerechnet noch gut 20 Jahre dauern können, bis ein Würfel mit 30 magischen Diagonalen „gefallen“ wäre.

Ob hoch, ob quer, ob schräg - bei diesem perfekten magischen Würfel kommt immer 315 heraus.

So traf es sich gut, dass der mit dem Autor befreundete Informatiker Christian Boyer die Anzahl der Hilfswürfel auf 4,5 Millionen halbieren konnte. Parallel dazu wurde das Programm vom Autor deutlich verbessert. Es lief ab Ende September auf bis zu fünf Rechnern (Celeron, Pentium 4 und Athlon) und lieferte bis zum 12. November über 1500 Würfel mit 28 magischen Diagonalen. Da machte sich schon etwas Enttäuschung breit, denn eine Lösung wurde eigentlich unter den ersten 1000 solcher Würfel erwartet. Doch am 13. November kam dann die erste Heureka-Meldung und schon tags drauf lieferten auch die anderen Rechner Lösungen. Wie viele es insgesamt davon gibt - das dürfte wohl noch eine Zeit lang im Dunkeln bleiben. (as)

[1] Alles über Mathematik: www.mathworld.com

[2] Multimagische Quadrate, Würfel, Tesseracte: www.multimagie.com

[3] Magische Quadrate: www.magic-squares.de

[4] Magische Quadrate: www.trump.de/magic-squares

[5] Magische Würfel: www.members.shaw.ca/hdhcubes

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Die Entdecker

Walter Trump, 50, ist Lehrer für Mathematik und Physik am Gymnasium in Stein bei Nürnberg. E-Mail: w@trump.de

Christian Boyer, 45, ist selbstständiger Softwareberater und lebt in der Nähe von Paris. Er war einige Jahre lang technischer Direktor der französischen Niederlassung von Microsoft. E-Mail: cboyer@club-internet.fr