Die Angst des Tormanns vor der Spieltheorie

22.07.2012

Seitdem es den Elfmeter im Fußball gibt, haben Soziologen, Ökonomen und Philosophen ausgiebig die Seele der Elfmeterschützen erörtert

Schießt er nun rechts oder links? Wird er oder sie treffen? Was ist die richtige Strategie, sowohl für den Schützen als auch für den Torwart? Das sind genau die Fragen, die die mathematische Spieltheorie untersucht, und es wäre zu erkunden, ob dort Antworten auf die Verzweiflung aller gescheiterten Elfmeterschützen zu finden sind.

Elfmeter und Spieltheorie

Eigentlich blicken sowohl der Elfmeter als auch die moderne Spieltheorie auf keine allzu lange Geschichte zurück. Früher hat man bei Fußballturnieren Spiele verlängert oder sogar neu ausgetragen, um den Sieger zu ermitteln. War auf dem Feld keine der beiden Mannschaften imstande zu gewinnen, wurde schließlich eine Münze geworfen. Diese Zufallsentscheidung wollte man jedoch mit der Einführung der "penalty kicks shootout" umgehen.

Der Elfmeter als solcher wird schon seit 1891 ausgeführt; eine Strafe, die anscheinend von den Rugby-Regeln inspiriert wurde. Elfmeter-"Shootouts", um Spiele zu entscheiden, wurden in einigen Fußballligen bereits in den fünfziger und sechziger Jahren praktiziert, bis die UEFA schließlich 1970 die Einführung in Europa beschloss. Da die Briten den Fußball erfunden haben, betrug der ursprüngliche Abstand der Strafstoßmarke bis zum Tor eigentlich 12 Yards, was in etwa den legendären elf Metern entspricht (und die neun Meter zur Freischussmauer sind eigentlich runde zehn Yards).

In der mathematischen Spieltheorie interessiert man sich für Spiele mit klar festgelegten Regeln und für die dazugehörigen Gewinnstrategien. Schach wäre ein Beispiel, das aber analytisch zu schwer zu behandeln ist. Ein klassisches Modell eines einfacheren Spiels ist das berühmte Gefangenendilemma: Zwei Gefangene werden getrennt voneinander verhört. Wenn beide schweigen (d.h. miteinander kooperieren), beträgt ihr jeweiliger Gewinn eine Einheit. Wenn einer kooperiert und der andere verrät (d.h. als Kronzeuge auftritt), geht der Verratene ins Minus, aber der Verräter erhält einen Gewinn von zwei Einheiten. Wenn sich beide gegenseitig verraten, ist ihr jeweiliger Gewinn Null.

Die theoretische Frage ist dann, was die Ganoven tun sollen? Welcher Strategie sollen sie folgen? Die Antwort ist: Verrat ist die einzige stabile Strategie für beide Gefangenen. Und das ist so, weil aus der Perspektive des ersten Gefangenen, egal ob der zweite kooperiert oder verrät, er den eigenen Gewinn in beiden Fällen durch Verrat maximieren kann. Beide denken identisch, und da sie nicht miteinander kommunizieren können, begehen beide Verrat, anstatt durch Kooperation mindestens jeweils einen Gewinn von Eins zu sichern.

Elfmeter als Spiel mit konstanter Belohnungssumme

Es war John von Neumann, einer der Väter der Informatik, der zusammen mit dem Ökonomen Morgenstern die strenge mathematische Analyse von Spielen, Strategien und Gleichgewichten Mitte des vorigen Jahrhunderts begründete. Seitdem ist vieles geschehen und Spieltheorie, Nash-Gleichgewichte und gemischte Strategien gehören zu den geflügelten Worten in den Wirtschaftswissenschaften, da es in der Marktwirtschaft bisweilen wie im Kasino zugeht.

Aus der Sicht der Spieltheorie kann man den Elfmeter als Spiel mit konstanter Belohnungssumme modellieren. Der erfolgreiche Torschütze erhält einen Gewinn von Eins, sonst Nichts. Der erfolgreiche Torwart erhält einen Gewinn von Eins, sonst Nichts. Der Gewinn von Eins geht also entweder zum erfolgreichen Torschützen oder zum erfolgreichen Torwart. Es darf ja nur einer sein.

Beim Schuss hat der Torschütze, grob gesagt, drei Möglichkeiten: Er kann links, rechts oder in die Mitte schießen. Der Torwart kann sich nach links oder rechts werfen oder einfach stehen bleiben. Es ergeben sich neun verschiedene Kombinationen und für jede gibt es unterschiedliche Erfolgsquoten. Da alles so schnell abläuft, wählen Torwart und Schütze ihre jeweilige Aktion meist im Voraus.

Seelenlehre des Elfmeterschützen

Jeder, der Fußball gespielt hat, weiß, wie überraschend groß das Tor sich anfühlt, sobald man als Torwart in seiner Mitte steht. Aber jeder, der zum Elfmeter angetreten ist, weiß auch, wie winzig klein das Tor von dem Elfmeterpunkt aus aussieht. Plötzlich wirkt der Torwart wie ein Ungeheuer, der alle Ecken mit seinen riesigen Klauen abdeckt. Und die Verantwortung liegt eindeutig beim Vollstrecker. Aus der Sicht des Publikums gleicht der Strafstoß einer Exekution. Der Torwart kann sich nur verteidigen, aber der Schütze muss eben vollstrecken. Er ist der einsamste Mensch im ganzen Stadion und bei seinem Antritt halten Freund und Feind den Atem an.

Kein Wunder also, dass Elfmeterschützen tendenziell eher zuhause als auswärts scheitern. Aber zunächst das Scheitern überhaupt: Aus 1.043 von Berger und Hammer analysierten Elfmetern[1], die in der Bundesliga zwischen den Spielzeiten 1992 und 2003 ausgeführt wurden, ergeben sich folgende Erfolgsquoten:

bei 2,3% ging der Ball an den Pfosten oder an die Latte,

bei 2,6% ging der Ball ins Aus,

19,6% der Schüsse wurden gehalten,

75,5% wurden verwandelt.

Im Durchschnitt findet ein Viertel aller Elfmeterschüsse das Netz also nicht. Für Daten aus der französischen und italienischen Liga ergibt sich eine sehr ähnliche Trefferquote.[2]

Allerdings gibt es beim Elfmeterschießen einen deutlichen statistischen Vorteil für die Mannschaft, die zuerst antritt: Wie aus Begegnungen mit Elfmeterschießen ermittelt wurde, gewinnt die Mannschaft, die zuerst schießt 60,5% der Spiele, während die andere Mannschaft nur in den restlichen 39,5% der Spiele erfolgreich ist.[3]

Bei Elfmeterschießen, bei denen jeweils fünf oder weniger Strafstöße geschossen werden, gewinnt die erste Mannschaft sogar zu 66 Prozent. Diese Erfolgsquoten wurden aus 262 Elfmeterserien über drei Jahrzehnte und bei den wichtigsten Turnieren (Welt-, Europa- und Amerikameisterschaft u.a.) ermittelt, sind also überaus aussagekräftig. Die Mannschaft, die den Münzwurf gewinnt, entscheidet sich gewöhnlich dafür, als erste zum Strafstoß anzutreten.[4]

Anscheinend setzt diese Reihenfolge das zweite Team unter den psychischen Druck, das Spiel ausgleichen zu müssen und daraus ergibt sich dann die allbekannte "Ladehemmung". Da ohne diesen Vorteil die erwarteten Gewinnprozente 50/50 wären, erkennen wir daraus, dass bei 10% der Spiele mit Elfmeterschießen der Münzwurf bereits über den Gewinner des Duells entscheidet.

Sind Fußballspieler gute Spieltheoretiker?

Wir wissen: Fußball ist wie Schach - und dazu noch Würfel. Wenn der Schütze zum Elfmeter antritt, kann er auf seine "natürliche Seite" (d.h. die Schießrichtung des stärkeren Beins), die Gegenseite oder in die Mitte zielen. Mit dem stärkeren Bein kann man kräftiger schießen. Dies ist aber dem Torwart bekannt, der sich dann eher in diese Richtung als in die andere werfen kann. Dies ist wiederum dem Schützen bekannt, der aber dann eher in die andere Richtung schießt, und so ad infinitum.

Das Beste für den Strafstoßverwandler ist deswegen, zufällig die Schussrichtung zu wählen, d.h. es wird mittig, links oder rechts geschossen, mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit für jede Aktion. Der Schütze, unser Spieler aus der Sicht der Spieltheorie, benutzt dann eine sogenannte Mischstrategie (die Mischung der drei möglichen Aktionen) mit einer gewissen Wahrscheinlichkeitspräferenz. Wenn der Spieler z.B. keine eindeutige Richtungspräferenz hat, kann er eine (1/3,1/3,1/3) Strategie verwenden, d.h. jede Aktion (rechts, links, Mitte) wird zufällig mit Wahrscheinlichkeit ein Drittel gewählt.

Die Sache wird aber dadurch etwas komplizierter, weil man, wenn man auf die starke Seite schießt, häufiger trifft. Man sollte eigentlich eine leichte Tendenz in diese Richtung beibehalten, ohne dieselbe Seite zu häufig zu wählen, um den nächsten Torwart im Dunkeln zu lassen. Gute Spieler variieren häufig die Richtung und Höhe ihrer Schüsse, um unvorhersehbar zu bleiben. Zumindest sollten sie es tun. Was also sagt die Statistik?

Bei den 1043 durch Berger und Hammer analysierten Elfmetern ergeben sich die Häufigkeiten, die in den Tabellen 1 und 2 gezeigt werden. Tabelle 1 gibt an, wie häufig der Schütze seine "natürliche Seite", d.h. die Seite des starken Fußes, oder die andere Seite, bzw. die Mitte des Tores gewählt hat. Die Spalten zeigen wie häufig sich der Torwart in welche Richtung geworfen hat. Man sieht z.B., dass die Schützen nur zu 14,5% Prozent die Mitte des Tores wählen und 44% die natürliche Seite. Die Elfmeterschützen zielen also fast mit der gleichen Häufigkeit nach rechts oder links und nur ein Siebtel der Versuche geht in die Mitte. Der Torwart wirft sich zur natürlichen Seite bzw. zur Gegenseite, aber er bleibt sehr selten in der Mitte stehen (nur bei insgesamt 1,7% aller Elfmeter).

Das Verhalten des Torwarts scheint kontraintuitiv zu sein. Da der Schütze bei 14,5% der Elfmeter die Mitte anzielt, sollte man erwarten, dass der Torwart häufiger stehen bleiben sollte. Es wäre eine sichere Parade. Die Lösung des Paradoxons befindet sich in Tabelle 2. Dort wird gezeigt, wie häufig der Schütze, je nach eigener Richtungswahl, und je nachdem, wie sich der Torwart wirft, trifft.

Tabelle 1: Häufigkeiten der Seitenwahl durch Schützen und Torwart beim Elfmeter
 Torwart 
NSMitteASKummulativ
SchützeNS22,1%0,8%21,1%44%
Mitte8,2%0,3%5,9%14,5%
AS21,6%0,6%19,4%41,5%
NS ist die "natürliche Seite" des Schützen, AS die "andere Seite" (Daten aus Berger und Hammer 2008).

Man sieht in Tabelle 2, dass der Schütze zu 64,5 Prozent trifft, wenn er die natürliche Seite wählt, auch wenn der Torwart sich in diese Richtung wirft. Schießt der Schütze in die Gegenrichtung und wirft sich der Torwart auch in diese Richtung, trifft der Schütze nur in 52,4% der Fälle. Wenn hingegen der Torwart in die falsche Richtung fliegt, ergeben sich Tore in 96% bzw. 91,8% der Fälle. Grob gesagt: Wirft sich der Torwart links oder rechts richtig, kann er in etwa 42% der Tore verhindern.

Tabelle 2: Trefferhäufigkeit beim Elfmeter je nach Seitenwahl durch Schütze und Torwart beim Elfmeter
 Torwart 
NSMitteASGesamt
SchützeNS64,5%100%91,8%78,2%
Mitte64%33,3%74,2%67,5%
AS96%83,3%52,5,4%75,5%
NS ist die "natürliche Seite" des Schützen, AS die "andere Seite" (Daten aus Berger und Hammer 2008).

Jetzt muss man als Torwart denken: Der Schütze schießt in 85,5% der Fälle links oder rechts. Sollte man stehen bleiben oder sich nach links oder rechts werfen? Beim Stehenbleiben wurden fast 14,5% der Elfmeter pariert (wenn der Torwart sich dafür mental vorbereitet, was in der Tabelle oben nicht so richtig wiedergegeben wird). Falls der Torwart sich wirft, wird die richtige Seite in der Hälfte der Fälle richtig erraten, in diesem Fall werden 42% der Tore verhindert. Das entspricht dem Produkt der Zahlen 0,85, 0,5 und 0,42, d.h. in 17,9% der Fälle wird das Tor verhindert. Das ist immerhin besser als 14,5% und deswegen wirft sich der Torwart auch!

Die Frage, ob der Torwart eine unnötige Tendenz hat, sich nach links oder rechts zu werfen, ist detailliert diskutiert worden.[5] Schließlich könnte er vielleicht durch "Nichtstun" einen guten Prozentsatz der Tore verhindern. Man sieht aber aus der Statistik oben, dass der Torwart gut daran tut, indem er die Parade rechts oder links sucht. Außerdem würde er sicher den Zorn des Publikums auf sich ziehen. Nichts würde dümmer aussehen als ein Torwart, der sich bei seiner Hinrichtung seinem Schicksal tatenlos ergibt.

Die Elfmeterspezialisten

Die obige grobe Analyse des Verhaltens vom Schützen bzw. Torwart besteht aus aggregierten Daten. Was diese Daten zeigen, ist, dass die Fußballspieler, als Gruppe, ihre Schüsse fast gleichmäßig nach rechts oder links verteilen und etwas seltener in die Mitte. Allerdings gibt es eine enorme Streuung, wie die Daten für individuelle Spieler zeigen. Es kommt nicht selten vor, dass ein Spieler zu 66 Prozent nach rechts schießt. Ein anderer wird aber in 66% der Fälle nach links schießen.

Datenreihen für individuelle Spieler zeigen, dass viele keine guten "Spieltheoretiker" sind, da sie sich von Spiel zu Spiel wiederholen. Deswegen tritt ein guter Schütze nicht zum Elfmeter an, wenn der Torwart ihn aus einer gemeinsamen Spielzeit gut kennt. Ein Extrembeispiel eines guten Spielers, der überproportional oft die natürliche Seite wählt, ist Lionel Messi, der in der Saison 2011/12 (bis Februar 2012) von 27 Elfmetern ganze 19 zur natürlichen Seite schoss. Seine Trefferquote aber zur natürlichen Seite ist größer als zur Gegenseite, wo er nur bei zwei Drittel der Versuche trifft.

Als Elfmeterschütze ist Messi allerdings nur Durchschnitt - mit einer Trefferquote von etwa 76%. Cristiano Ronaldo, Messis ärgster Widersacher, ist dagegen sehr treffsicher beim Elfmeter. Bis Februar 2012 hatte er 24 Elfmeter für Real Madrid geschossen und 23 davon verwandelt. Dass er gegen Spanien bei der EM 2012 als letzter portugiesischer Schütze vorgesehen war, aber nicht mehr antreten konnte, ist vielleicht einer der seltsamsten Betriebsunfälle in der Geschichte des Fußballs.

Die Elfmeterspezialisten sind diejenigen Spieler, die ihre Schüsse bewusst von Spiel zu Spiel in der Richtung verändern und selten ins Aus schießen. In der heutigen Welt, in der alle Daten eines Spielers auf Knopfdruck zu erhalten sind, müssen Fußballer bessere Spieltheoretiker werden. Als Kollektiv sind sie es bereits, individuell aber nicht. Bei der Europameisterschaft 2012 hat man den englischen Torwart vor dem Elfmeterschießen gegen Italien mit einem iPad in der Hand gesehen. Vielleicht gehört demnächst ein Smartphone mit Spieler-Datenbank zur notwendigen Ausrüstung eines jeden Bundesligatorwarts.

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