Wem gehört eigentlich die Zahl Pi?

19.08.2012

Ein Ausflug in das Recht immaterieller Güter

Die Kreiszahl π (gesprochen pi) hat schon sei mehr als 3500 Jahren den Geist des Menschen herausgefordert. Sie ist als das Verhältnis des Umfang eines Kreises zu seinem Durchmesser definiert, taucht aber auch in vielen mathematischen und physikalischen Problemen auf, die mit dieser einfachen geometrischen Aufgabe auf den ersten Blick nichts zu tun haben. In der Auseinandersetzung mit diesen Problemen sind bis in die heutige Zeit geistige Meisterwerke größter Rationalität und Schönheit entstanden. Daher erscheint die Frage, wem die Kreiszahl rechtlich gehöre, auf den ersten Blick absurd. Aber π ist, wie wir heute wissen, völlig irrational und damit wie geschaffen für das deutsche Immaterialgüterrecht.

Einige ernst gemeinte Vorbemerkungen

Ja, das Erbe der Gesammtheit
Wird dem Einzelnen zur Beute
Und von Rechten des Besitzes
Spricht er dann, von Eigenthum!

Eigenthum! Recht des Besitzes!
O des Diebstahls! O der Lüge!
Solch Gemisch von List und Unsinn
Konnte nur der Mensch erfinden.

Heinrich Heine, aus Atta Troll, Kaput X.

Wir erinnern uns vielleicht noch an unsere Schulzeit, als wir Kreisumfang, Kreisflächen bzw. Kugelvolumen berechnen sollten. Die Formeln, die wir auswendig lernen mussten, waren

Kreisumfang =π Durchmesser
Kreisfläche =
π
4
Durchmesser2
Kugelvolumen =
π
6
Durchmesser3
Mit π ≈3,1416 =
31416
10000

Die Kreiszahl π taucht hier ganz harmlos als, wie wir heute sagen würden, Proportionalitätskonstante auf, was ja immerhin schon die Erkenntnis voraussetzt, dass das Verhältnis von Kreisumfang zum Durchmesser, bzw. der Kreisfläche zu einem Viertel der Fläche des kleinsten, den Kreis umschreibenden Quadrats für alle Kreise gleich ist. Das wussten bereits die alten Babylonier. Und die alten Ägypter gaben schon eine einfache Methode zur Berechnung der Kreisfläche an1, mit der sie π als einfachen Bruch

π ≈
82
(9/2)2
=
256
81
≈ 3,1604

abschätzten. Der Fehler von 0,6% war für die Zwecke der damaligen Berechnungen tolerierbar. Solche Berechnungen waren zum Beispiel wichtig, um das Volumen von Hohlmaßen mit kreisförmiger Bodenfläche zu bestimmen.

Während sich die Ägypter noch ganz pragmatisch algebraisch mit dem Problem der Flächenbestimmung des Kreises auseinandersetzten, war bei den Griechen bereits eine höhere Abstraktionsebene erreicht. Man suchte jetzt nach der "Quadratur des Kreises", das heißt, nach einer exakten geometrischen Konstruktion, die, nur mit Zirkel und Lineal ausgeführt, in endlich vielen Schritten ein zum Kreis flächengleiches Quadrat konstruieren könnte.

Die Suche nach der Quadratur des Kreises war in der Mathematik das, was in der Physik die Suche nach dem "Perpetuum mobile" war. Forscher und interessierte Laien bemühten sich vergeblich, eine Lösung zu finden. Immerhin waren einige der vorgeschlagenen Konstruktionen sehr gute Näherungen. Die Konstruktion von Kochansky2 aus dem Jahr 1685 lieferte ein Quadrat mit einem Fehler von ∆F ≈ 2*10-7. Nicht schlecht, aber eben nicht exakt. Die Suche nach der Quadratur des Kreises nahm ein solches Ausmaß an, dass die Pariser Akademie der Wissenschaften 1775 beschloss, keine Vorschläge zur "Quadratur des Kreises" und für ein "Perpetuum mobile" mehr anzunehmen.

Mit der Erfindung der Infinitesimalrechnung und der Beherrschung konvergenter Reihen ging man das Problem, die Kreiszahl π immer genauer zu berechnen, auch wieder algebraisch an. Eine Vielzahl solcher unendlicher Reihen liefern π, und das mit jeder gewünschten Genauigkeit, wenn man nur lang genug rechnet. Das ist auch die Methode, mit der π heute von Taschenrechnern berechnet wird.

1596 berechnete Ludolf von Ceulen 35 Nachkommastellen nach einer schon von Archimedes verwendeten Methode und opferte dafür 30 Jahre seinem Lebens. 1706 benutzt der Engländer Machin eine Reihenentwicklung, um π auf 100 Nachkommastellen zu berechnen. Leonhard Euler führte 1748 bereits 148 Nachkommastellen an. Von ihm wurde der griechische Buchstaben π als Bezeichnung für die Kreiszahl eingeführt. Er formulierte auch die vielleicht schönste mathematische Formel

e + 1 = 0

vergleichbar nur mit dem einsteinschen E = mc2.

Heute muss zur Berechnung von π niemand mehr Lebensjahre und Gesundheit opfern. So berechnet das Programm y-cruncher von Alexander J. Yee3 auf einem 6-Core i7 Rechner 1 Mrd. Nachkommastellen in ca. 5 min. Wer sich mit weniger bescheidet, kann auf www.pibel.de eine pdf-Datei mit 10 Mio. Nachkommastellen herunterladen. Zur Frage, zu was das gut sei, komme ich später.

Erst 1882 bewies der Mathematiker Ferdinand von Lindemann, dass π nicht als Lösung irgendeiner (endlichen) algebraischen Gleichung4 auftaucht. Das heißt: π ist transzendent. Die Konsequenz daraus ist, dass es keine Konstruktion der "Quadratur des Kreises" gibt, wenn sich das auch noch nicht bei allen Hobbygeometern herumgesprochen hat.

π ist auch irrational, sie lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen. Damit muss π zum Beispiel im Dezimalsystem als unendlich langer Dezimalbruch dargestellt werden. Anders aber als bei Dezimalbrüchen rationaler Zahlen5 ist die Reihenfolge der Ziffern aber regellos und ohne Periode.

Heute dreht sich die Diskussion um die Frage, ob π auch normal ist, d.h. ob alle Ziffern von π mit der gleichen statistischen Häufigkeit auftreten. Wenn das so ist, dann sind auch alle Ziffernblöcke mit beliebig vielen (endlichen) Ziffern gleich häufig. Der Beweis der Normalität von π ist noch nicht erbracht, doch zeigen alle Tests an den bisher berechneten Stellen, dass es so ist.

Interpretiert man Abschnitte der unendlich langen Reihe von Nachkommastellen von π zum Beispiel als 7 bit ASCII-Code, dann ist es nicht verwunderlich, dass in diesen Abschnitten immer wieder lesbarer Text auftaucht. Wenn π normal ist, wird in dieser unendlich langen Ziffernfolge sogar jeder (endlich lange) Text auftauchen, der je geschrieben wurde - und auch jeder Text der zukünftig noch geschrieben wird. Man kann also mit Recht sagen:

Es gibt keine neuen Texte, alle stehen schon im ewigen Buch π geschrieben.

Wem gehört Pi?

Wenden wir uns nun der Frage zu, wem diese Zahl, an der sich so viele Generationen abgearbeitet haben, gehört. Man wird vielleicht überrascht einwenden, dass eine Zahl ja Niemandes Eigentum sein kann. Aber Vorsicht! Lehrt doch schon das Beispiel der Farbe (und des Worts) Magenta6, die als Marke7 geistiges Eigentum der Telekom ist, dass man sich hier auf einem Gebiet bewegt, wo der gesunde Menschenverstand nichts gilt.

Dass Farben im Sinne des Markenrechts geistiges Eigentum sein können, ist auch keine Erfindung der Telekom. So ist Gelb8 natürlich geistiges Eigentum der Deutschen Post AG. Rot9 gehört den deutschen Sparkassen. Grün gehört - nein, nicht den Grünen, sondern der DKV10.

Magenta
Farb- und Wortmarke
Deutschen Telekom AG
Registriernummer 39552630 und 39864846
Die Farbe Magenta ist als Marke geistiges Eigentum der Deutschen Telekom AG
Gelb
Farbmarke
Deutsche Post AG
Registriernummer 39533891
Die Farbe Gelb ist als Marke geistiges Eigentum der Deutsche Post AG
Rot (HKS 13)
Farbmarke
Deutscher Sparkassen- und Giroverband eV
Registriernummer 30211120
Die Farbe Rot ist als Marke geistiges Eigentum der Deutscher Sparkassen- und Giroverband eV
Grün
Farbmarke
DKV Deutsche Krankenversicherung AG
Registriernummer 000036731
Die Farbe Grün ist als Marke geistiges Eigentum der DKV Deutsche Krankenversicherung AG

Das Markenrecht ist sozusagen der arme Bankert in der Familie der Immaterialgüterrechte. Es ist nicht so privilegiert wie das Lorbeer umkränzte Urheberrecht. Es kann zum Beispiel Drucker nicht mit Abgaben belegen, nur weil man mit ihnen Rot, Gelb, Grün ausdrucken kann. Es wird auch Kindergärten keine Rechnung zustellen, wenn dort die Wasserfarben ausgepackt werden. Doch reicht es immer noch zur Beschäftigung von Abmahnanwälten und Gerichten.

Das Gesetz über den Schutz von Marken und sonstigen Kennzeichnungen sagt in § 3:

Als Marke können alleZeichen, insbesondere Wörter einschließlich Personennamen, Abbildungen, Buchstaben, Zahlen, Hörzeichen, dreidimensionale Gestaltungen einschließlich der Form einer Ware oder ihrer Verpackung sowie sonstige Aufmachungen einschließlich Farben und Farbzusammenstellungen geschützt werden". (Hervorhebung durch den Autor)

Wir ahnten es schon: Auch Zahlen können als Marken geschütztes geistiges Eigentum sein. Die Marke 4711 ist allgemein bekannt11, 2001 vielleicht auch12. Seit Douglas Adams wissen wir das die universelle Antwort nach "life, the universe and everything" = 42 ist. Diese tiefste aller geistigen Erkenntnisse gehört - nein, nicht Arthur Dent, sondern Herrn Herwig Preis.13 Die Zahlenreihe von 1 bis 23 gehört der Société par actions simplifiée (NEUF).14 Welch geistige Leistung, wenn man über das "1 2 3 ganz viele" hinausgekommen ist.

4711Wort-/Bildmarke
RN 206680
Mäurer + Wirtz GmbH & Co. KG
Die Zahl 4711 ist als Marke geistiges Eigentum der Mäurer + Wirtz GmbH & Co. KG
2001Wort-/Bildmarke
RN39721727
ZWEITAUSENDEINS Versand-Dienst GmbH
Die Zahl 2001 ist als Marke geistiges Eigentum des ZWEITAUSENDEINS Versand-Dienst GmbH
42Wort-/Bildmarke
RN 007578065
Herwig Preis
Die Antwort auf die Frage nach „life, the universe and everything“ ist als Marke geistiges Eigentum von Herwig Preis
1,2,3 ...Wort-/Bildmarke
RN 1743871
NEUF (Société par actions simplifiée)
Die Zahlenreihe von 1 bis 23 ist als Marke geistiges Eigentum der Société par actions simplifiée

Jetzt endlich zur Frage: "Wwer ist geistiger Eigentümer von π?" …. Es ist die Volkswagen AG.15 Nur ist nicht klar, ob die Patentanwälte des Autobauers wirklich die transzendente Zahl π oder nur den griechischen Buchstaben und das Buchstabenzeichen gemeint haben. Über die Bedeutung des angemeldeten Zeichen gibt die Marke keine Auskunft. Da wird die Alimpex S.L. schon deutlicher. Sie setzt das Wort Pi, das Zeichen π und eine, wenn auch schlechte Näherung der Kreiszahl zusammen in eine !!! horribile dictu !!! Ellipse16. Da ist die Bildmarke RN 00263609017 zumindest konsequenter.

Daneben ist das Wort Pi oder der griechische Buchstaben π noch Bestandteil von weiteren 236 Markenzeichen. Darunter zum Beispiel auch Pi-Pi-Bent18 oder Pi-Sa19. Nebenbei: Das Zeichen Pi-Rat hat noch keinen Eigentümer gefunden, während die Worte Pirat und Piraten für mehrere Markeninhabern geschützt sind.

VWWort-/Bildmarke
RN 39911280 und RN 39911281
Volkswagen AG
π ist als Marke geistiges Eigentum der Volkswagen AG
Alimpex Bildmarke
RN 39623622
Alimpex S.L., Santa Cruz de Tenerife
Die Zahl p ist als Bildmarke geistiges Eigentum der Alimpex S.L.
offenBildmarke
RN 002636090
aufgegeben
 
Pi-Pi-BentPi-Pi-Bent
Wort-/Bildmarke
RN 1037061
auf einem Produkt der Firma Obshchestvo s ogranichennoy otvetstvennostyu
Pi-Pi-Bent ist als Marke geistiges Eigentum …
ach wir wollen es eigentlich gar nicht wissen

Nun wird man natürlich einwenden, dass das Markengesetz ausdrücklich von Zeichen spreche und nur diese Zeichen schütze. Das eigentlich Geistige, die Bedeutung des Zeichens, sei nicht geschützt, ließe sich auch gar nicht schützen. Bei der Kreiszahl wäre dies beispielsweise "die Zahl π an sich", sei es, dass man sich diese als Funkeln der Neuronen im Kopf des Betrachters, sei es, dass man sie sich klassisch als Bewohnerin des platonischen Reichs der ewigen Ideen vorstellt. Im ersteren Fall verweise man auf: "Die Gedanken sind frei." Im zweiten Fall sei sowieso klar, dass die deutsche Justiz keinen Zugang zu dieser idealen Sphäre habe.

Aber ist dies nicht bei allen "geistigen" Erzeugnissen so? Ein gesprochener Text ist eine Folge von Tönen, von gesprochenen Wörtern. Ein Schriftstück enthält eine Anordnung von Buchstaben und geschriebenen Wörtern. Wörter und Buchstaben sind Zeichen, oder wie Kamlah20 sagt, es sind Zeigeschemata. Sie zeigen auf etwas hin. Eine Partitur enthält ebenfalls nur Zeichen und keine Musik.

Auch wenn ich ein Lied zur Aufführung bringe, ist dies nur eine Zeigehandlung. Es erklingen Geräusche, Töne, nicht die Musik. Die Musik entsteht erst in unserem Kopf. Wenn ich das Lied drei mal singe, wird jeder Vortrag unterschiedlich sein. Das, worauf jede diese Aufführungen jedoch hinzeigt, ist das, was alle aufmerksamen und musikerfahrenen Zuhörer als Musik verstehen, ist der musikalische Inhalt, die Bedeutung oder wie immer man dies auch bezeichnen und wo immer man dies auch verorten mag. Wenn ich von einer dieser Aufführungen eine Aufnahme mache und in Rillen oder in Bits presse, so sind auch diese Schallplatte und CD wieder nur Zeichen. Die materiellen Zeichen kann man besitzen und schützen. Den geistigen Inhalt nicht. Geistiges Eigentum ist Humbug.

Vermischte Funde und Zugabe

Die Interpretation der Ziffernfolge von π als 7-bit ASCII-Code ist nur eine von beliebig vielen Interpretationen. Man könnte die Ziffern auch den vier Nukleinsäuren (Adenin, Thymin, Cytosin und Guanin) zuordnen. Dann könnte man in π das Genom jeden Lebewesens auffinden. Jedes biologische Protein wäre ähnlich wie in der DNA auch auf π codiert. Allgemein braucht man für solche Interpretationen drei Elemente:

  1. Einen Algorithmus, der die Ziffernfolge von π errechnet (π-Generator). Der π-Generator ist, vorausgesetzt π ist normal, der ideale Pseudo-Zufallszahlengenerator
  2. Einen Algorithmus, der die Ziffernfolge auf andere Mengen abbildet, transformiert (τ‑Generator),
  3. Einen Algorithmus, der die "sinnvollen" Abschnitte selektiert (σ-Generator).

Die ersten beiden Algorithmen bereiten keine prinzipiellen Schwierigkeiten. Die Herausforderung liegt im Algorithmus für die Selektion. Wenn ich nach etwas Bekanntem suche, ist das Vorgehen einfach. Will ich zum Beispiel wissen, wo auf π der Text für Dieter Bohlens "Cheri Cheri Lady" codiert ist, rücktransformiere ich den Text und lasse dann über π einen Suchalgorithmus laufen, wie er in jedem Textverarbeitungsprogramm zu finden ist.

Wenn ich aber nach etwas noch nicht Bekanntem (nur in diesem Sinne Neuem) suche sollte, wäre dies ungleich schwerer. Das Grundproblem ist, dass ich erst Regeln für "Sinn", "Bedeutung" finden müsste. Bei Texten, Bildern, Tonfolgen, die die beiden ersten Generatoren generieren, empfehle ich, die Selektion, was "sinnvoll" oder was "ästhetisch" ist, dem neuronalen Computer in unserem Kopf und den dort vorhandenen Mustererkennungsalgorithmen zu überlassen. Auch dann, wenn dies einige Zeit beansprucht. Denn, das muss an dieser Stelle eingeräumt werden, auch auf π ist die Menge des Junk-Codes deutlich größer als die Menge der "sinnvoll" codierten Abschnitte. Aber dies ist in unserem Genom und eigentlich überall in unserer Welt ja auch der Fall.

Die Frage ist nun: "Reicht ein solcher persönlich durchgeführter Selektionsschritt schon aus, um aus dem Ergebnis ein Werk im Sinne des Urheberrechts zu machen?" Dort wird ja gefordert (§ 2, Abs. 2 UrhG)21: "Werke im Sinne dieses Gesetzes sind nur persönliche geistige Schöpfungen." und (§ 7): "Urheber ist der Schöpfer des Werkes."

Beispiele:

J.V. Schmidt hat ein Programm22 geschrieben, das die Zahlenfolge von π in Bilder transformiert. Das Programm erlaubt die Einstellungen einiger Parameter und ich habe zwei davon nach ästhetischen Kriterien ausgewählt.

Abbildung 1: Eine computergenerierte Grafik auf Basis von π. Hergestellt mit PiWorld light von J.V. Schmidt

Natürlich kann man über Geschmack streiten. Vermutlich aber würden diese Grafiken nicht wegen mangelnder Schönheit durch das Sieb des Urheberrechts fallen, sondern weil man einen schöpferischen Akt nur Exemplaren der Art Homo sapiens zugesteht. Computergenerierte Texte, Bilder und Tonfolgen sind also nicht geschützt.

Abbildung 2: Wie Abb. 1 mit anderen Parametern. Hergestellt mit PiWorld light von J.V. Schmidt. (Weitere PiWorld Grafiken)

Christa Schmidt stellte auf der ZIRKUMFERENZ 2002 einen 3,14 m x 3,14 m großen Wandteppich aus, der die ersten 2500 Stellen von π repräsentiert und auf dem gleichen Algorithmus basiert. Wie wohl ein deutscher Jurist dieses schöne Stück Kunsthandwerk bewerten würde?

Der Leipziger Künstler HAEL YXXS benutzte einen Algorithmus, der die Ziffernfolge von π in MIDI Signale umsetzt. Sie klingen durchaus gewöhnungsbedürftig, aber nicht unangenehm, ähnlich wie auch so manches zeitgenössische Musikwerk. Man kann davon ausgehen, dass HAEL YXXS damit bei der GEMA weder in der Kategorie E noch in der Kategorie U Aufnahme findet. Da das Keyboard letztlich auch nur ein Computer ist, wird hier auch das Leistungsschutzrecht nicht greifen.

Albert Washüttel liest 100 Stellen von π wohl intoniert und rhythmisch akzentuiert vor. Obwohl dieser Aufführung kein urheberrechtlich geschützter Text und keine Musik zugrunde liegt, dürfte ihn zumindest das Leistungsschutzrecht als ausübenden Künstler schützen.

Dagegen trug der Berner Troubadour Ruedi Krebs die ersten 100 Stellen von π in Form eines π-Walzers mit eigener Melodie und Gitarrenbegleitung vor. An diesem Kunstwerk hätte die GEMA sicher ihre Freude.

Das Memorieren der ersten 100 Stellen von π ist übrigens eine beliebte Aufnahmeprüfung bei den Vereinigungen der π-Freunde. Franzosen können sich die ersten 30 Stellen leicht durch den Text

Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages!
Immortel Archimède, artiste ingénieur,
Qui de ton jugement peut priser la valeur!
Pour moi ton problème eut de pareils avantages.

merken. Sie haben sicher herausgefunden wieso. Aber haben sie auch herausgefunden, was der Sinn dieses Textes ist?

Apropos Dichtung: Norbert Rixecker23 nutzt einen effektiveren Transformationsalgorithmus, um aus π Text zu extrahieren. Er erstellt mit Hilfe dieses Algorithmus ein Wörterbuch der in π vorkommenden Wörter. DieseS Wörterbuch wird alle Wörter aller Sprachen und darüber hinaus auch alle Wörter, die in keiner Sprache vorkommen, enthalten. Er nannte diese große Vereinigung aller Sprachen das Pi-isch (nicht zu verwechseln mit Piëch, dem eigentlichen Eigentümer von π). Hier ein Gedicht in Pi-isch, das innerhalb der ersten 32768 Nachkommastellen von π kodiert ist:

Bimmty Bimmty Beklgaeu
Abra Admer Gluf
Wagl Wofy Wiuax
Xovu Zuloy Woxs Baadxim Baadxim Beenihhtek
Alxua Alyz Covw
Razeyr Dzupko Corguys
Guzaqi Knuwie Lon Usor Moykna Eqerkse
Wokhoczi Waurdu Dnolm
Eutko Disdmo Anveznat
Kiweka Lizo Boi

Sie werden jetzt vermutlich sagen: "Das ist doch alles Unsinn!" Aber bitte, urteilen Sie nicht vorschnell, nur weil Sie das Pi-isch nicht beherrschen, weil Sie die Bedeutung der pi-ischen Worte nicht kennen und daher den Sinn des pi-ischen Gedichts nicht begreifen können.

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