Menü
Wissenschaft
Alle Heise-Foren > Specials > Wissenschaft > Zahlentheorie, perfekter Cubo…
Avatar von pullmoll

mehr als 1000 Beiträge seit 24.01.2000

Zahlentheorie, perfekter Cuboid

Warum im perfekten Cuboid √(a² + b² + c²) ≠ d ist, für a, b, c, d ∈ ℕ.

1. Die Seiten jedes primitiven rechtwinkligen Dreiecks, also die
primitiven Pythagoräischen Tripel (pPT), bestehen immer aus einer
Kathete mit ungerader, einer Kathete mit gerader, und der
Hypotenuse mit ungerader Länge.

2. Jedes rechtwinklige Dreieck, also jedes generelle Pythagoräische
Tripel (PT), ist auf genau eine Weise das Produkt eines pPT und
eines Faktors f ∈ ℕ.

Wegen der Kommutativität der Summanden innerhalb der Quadratwurzel auf
der linken Seite von

√(a² + b² + c²) = d

sind folgende Gleichungen

√(√(b² + c²) + a²) = d
√(√(a² + c²) + b²) = d
√(√(a² + b²) + c²) = d

äquivalent. Dabei ist d die Länge der Raumdiagonalen des pefekten Cuboids.

Das Ergebnis jeder inneren Quadratwurzel entspricht der Länge der
Hypotenuse eines PT und ist somit ein Vielfaches einer ungeraden Zahl.

Folglich müssen a, b und c in den drei Gleichungen jeweils Vielfache
von geraden Zahlen sein, um die Bedingung für PT zu erfüllen.

Andererseits muss in den inneren Quadratwurzeln jeweils genau eins von
a, b oder c ein Vielfaches einer ungeraden Zahl sein.

Reductio ad absurdum.

*****

Ist das schlüssig und stimmt es?
ciao pm

Das Posting wurde vom Benutzer editiert (06.07.2019 08:48).

Bewerten
- +
Anzeige