Zahlen, bitte! Hilberts noch immer nicht gelöstes achtes Problem

David Hilbert veröffentlichte 1900 eine Liste mit 23 ungelösten mathematischen Problemen. Inzwischen wurden viele gelöst, doch einige scheinen unüberwindbar.

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  • Anna Eichler
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Alle vier Jahre werden Mathematiker aller Welt zum internationalen Mathematikkongress eingeladen. So auch am 8. August 1900 in Paris. Der Andrang war nicht so hoch wie erwartet, anstelle der erwarteten 1000 Mathematiker kamen nur rund 250. Einer davon war der bekannte deutsche Mathematiker David Hilbert, er war Präsident der Sektion Algebra und Zahlentheorie. Anders als viele seiner Kollegen wollte er nicht über das bereits Erreichte sprechen, sondern über die Zukunft der Mathematik und über das, was man im aufkommenden Jahrhundert noch erreichen könne.

So sagte er zum Einstieg: "Wer von uns würde nicht gerne den Schleier lüften, unter dem die Zukunft verborgen liegt, um einen Blick zu werfen auf die bevorstehenden Fortschritte unserer Wissenschaft und in die Geheimnisse ihrer Entwicklung während der künftigen Jahrhunderte! Welche besonderen Ziele werden es sein, denen die führenden mathematischen Geister der kommenden Geschlechter nachstreben? Welche neuen Methoden und neuen Tatsachen werden die neuen Jahrhunderte entdecken – auf dem weiten und reichen Felde mathematischen Denkens?"

Er stellte in seinem Vortrag eine Liste ungelöster mathematischer Probleme vor. Die Lösung dieser Probleme sei die Aufgabe des 20. Jahrhunderts. Auch wenn die Reaktion vor Ort verhalten war, nahm Hilbert damit gewaltigen Einfluss auf die Entwicklung der Mathematik. Durch seine Bekanntheit gewann auch seine Liste schnell an Popularität. Für die Lösung des achten Problems – auch bekannt als Goldbachsche Vermutung – hat der britische Verlag Faber and Faber 100 Jahre später ein Preisgeld von einer Million Euro ausgelobt.

Der Namensgeber der Goldbachschen Vermutung ist der Gelehrte Christian Goldbach. Goldbach selbst war kein großer Mathematiker, im späteren Leben ging er der Mathematik nur noch in seiner Freizeit nach. In seinen jüngeren Jahren lernte er allerdings einige bedeutende Mathematiker kennen, darunter auch Leonhard Euler. Mit Euler hegte er über 35 Jahre eine enge Brieffreundschaft. In den Briefen ging es überwiegend um Probleme und Lösungen in der Zahlentheorie und so äußerte Goldbach 1742 in einem Brief die Vermutung, dass sich alle ungeraden Zahlen größer als 5 als Summe von drei Primzahlen darstellen lassen. Dies gilt als schwache Goldbachsche Vermutung. Später wurde sie verschärft: Die starke Goldbachsche Vermutung besagt, dass jede gerade Zahl größer als zwei sich als Summe aus zwei Primzahlen darstellen lässt.

Für kleine Zahlen lässt sich das rasch überprüfen: 4 = 2+2; 6= 3+3; 8= 5+3; 10= 7+3. Auch Euler hat Goldbach in seiner Antwort zugestimmt. Inzwischen haben Computer die Theorie für alle bis zu 18-stelligen Zahlen geprüft. Da es noch keine Widerlegung gibt, scheint Goldbach recht zu haben. Doch reichen ein paar Computerrechnungen nicht aus, um Hilberts achtes Problem zu lösen. Die allgemeingültige Erklärung fehlt bis heute und so wurde auch das Preisgeld aus dem Jahr 2000 nie ausgezahlt.

Zahlen, bitte!

In dieser Rubrik stellen wir immer dienstags verblüffende, beeindruckende, informative und witzige Zahlen aus den Bereichen IT, Wissenschaft, Kunst, Wirtschaft, Politik und natürlich der Mathematik vor.

Nachdem der französische Mathematiker Olivier Ramaré im Jahr 1995 bewiesen hatte, dass jede gerade Zahl als Summe von höchstens sechs Primzahlen darstellbar ist, ist es ruhig um das achte Problem geworden. Nach vielen, vielen gescheiterten Versuchen von diversen Mathematikern war es der Fields-Medaillen-Träger Terence Tao, der mit seinen Erkenntnissen zur schwachen Goldbachschen Vermutung, die Forschung wieder zum Leben erweckte. 2012 veröffentlichte er online einen Artikel, der beweisen sollte, dass jede natürliche ungerade Zahl, die größer als 1 ist, als die Summe von höchstens fünf Primzahlen dargestellt werden kann. Tao war danach zuversichtlich, die Anzahl auf drei Primzahlen reduzieren zu können und somit den Beweis für die schwache Golbachsche Vermutung zu erbringen. Allerdings kam ihm der peruanische Mathematiker Harald Helfgott zuvor.

2013 veröffentlichte Helfgott eine 133 seitenlange Arbeit, die den Beweis für die schwache Golbachsche Vermutung liefern soll. Er nutze dafür, wie bereits Tao, die 1928 entwickelte Kreismethode von Hardy und Littlewood, die Arbeiten des Mathematikers Vinogradov und das große Sieb nach Juri Linnik. Vinogradov hatte mit seiner Methode bereits 1937 bewiesen, dass die schwache Golbachsche Vermutung für genügend große Zahlen gilt. Diese genügend große Zahl war zum Zeitpunkt von Helfsgott Arbeit allerdings bei ≈2×101346. Nicht nur, dass eine so hohe Zahl für den Menschen kaum begreiflich ist, sie lässt auch viele Zahlen offen, für die noch ein Beweis gefunden werden muss.

Helfsgott Arbeit befindet sich noch im Peer-Review Verfahren, wird aber schon weitestgehend anerkannt. Seine Arbeit ist ein großer Meilenstein auf dem Weg zum Beweis der starken Golbachschen Vermutung.

Bei dem ein oder anderen taucht derweil die Frage auf, ob man Hilberts achtes Problem überhaupt lösen kann. Zum Zeitpunkt des zweiten internationalen Mathematikkongresses, auf dem Hilbert seine Liste vorstellte, kannte noch niemand den Unvollständigkeitssatz von Gödel. Hilbert selber war Begründer des Hilbertprogramms – ein Forschungsprogramm mit dem Ziel, die Widerspruchsfreiheit der Axiomensysteme der Mathematik mit finiten Methoden nachzuweisen.

Doch war dieses Ziel nur ein Wunsch, der niemals in Erfüllung gehen sollte. 31 Jahre nach der Veröffentlichung von Hilberts Liste, publizierte der damals erst 25-jährige Kurt Gödel den Unvollständigkeitssatz. Der besagt, dass es in allen hinreichend starken widerspruchsfreien Systemen unbeweisbare Aussagen gibt und jedes hinreichend starke widerspruchsfreie System seine eigene Widerspruchsfreiheit nicht beweisen kann.

Ob die Goldbachsche Vermutung zu den Vermutungen gehört, die man nicht beweisen kann, ist noch herauszufinden. Allerdings vermuten viele Mathematiker, dass dieses Jahrhundert ähnlich wie das letzte dafür wahrscheinlich nicht mehr ausreichen wird.

Update

Jahreszahl der Vermutung und ein Schreibfehler korrigert.

(mho)