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Primzahlen und Pi: Rekorde, Beweise und Korrelationen [Update]

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Forscher an der Universität Boston haben interessante statistische Regelmäßigkeiten im Spektrum der Primzahl-Verteilung entdeckt. Wie nature im letzten science update berichtete haben sich Pradeep Kumer et al. mit der Verteilung der Differenzen von Differenzen aufeinanderfolgender Primzahlen (+1, 0,+2,-2 ...) beschäftigt.

Eigentlich wollten die Wissenschaftler nur ihr statistisches Tool testen, das Unregelmäßigkeiten des Herzschlages analysieren soll. Dazu benutzten sie die Primzahlen als Spieldaten. Doch ihr Programm zeigte unerwartet klare Korrelationen zwischen den Daten. Allerdings fußt ihre Analyse auf dem vergleichsweise mickrigen Zahlenbestand von "nur" 50 Millionen Primzahlen -- hatte doch schon Euklid bewiesen, dass es noch "viel, viel mehr" gibt ... (siehe dazu auch Primalität liegt in P.)

Statistische "Oszillationen" werden bei Primzahlen allerdings schon längere Zeit studiert, wie man beispielsweise hier nachlesen kann.

An eine mögliche mathematische Begründung haben sich die zahlentheoretisch wenig erfahrenen Forscher jedoch nicht herangetraut -- das werden jetzt wohl andere übernehmen müssen. Vielleicht die Mathematiker Dan Goldston und Cen Yildirim: Das American Institute of Mathematics bezeichnet ihre Arbeit, die sich mit Small Gaps Between Primes beschäftigt, euphorisch als Quantensprung und als großen Durchbruch in der Primzahlforschung.

Die Wissenschaftler fanden den seit 80 Jahren gesuchten Beweis, dass der

lim inf(n gegen unendlich)  (p<sub>n+1</sub> - p<sub>n</sub>)/log p<sub>n</sub> = 0 ! 

Das bedeutet, dass der Abstand zweier aufeinanderfolgender Primzahlen nicht nur näherungsweise dem Logarithmus folgt, sondern in unendlich vielen Fällen deutlich kleiner ist (der Limes Inferior ist der kleinste Häufungspunkt einer Folge).

Auch bewiesen sie, dass für unendlich viele aufeinanderfolgende Primzahlen folgende Ungleichung gilt:

p<sub>n+1</sub> - p<sub>n</sub> < (log p<sub>n</sub>)<sup>8/9</sup>

Morgen ist für Mathematiker ein spannender Tag, dann wird Goldston in Palo Alto die Arbeit der Öffentlichkeit vorstellen und mit Zahlentheoretikern die Konsequenzen diskutieren.

Auch die Piologen betreiben interessante Statistiken im vermuteten Zufallsverhalten der Stellen von Pi. Den aktuellen Stellenrekord hat "Mr. Pi", Yasumasa Kanada, inzwischen auf 1.241.100.000.000 Stellen hinaufgetrieben. Kanada verbriet zwischen September und Dezember 2002 zu diesem Zwecke 600 Stunden Rechenzeit auf der Hitachi SR8000/MP (mit 1 TByte Hauptspeicher).

Wer es auf mal eben auf seinem Taschenrechner nachrechnen will, Kanada benutzte dafür die einfachen Formeln:

pi=48×arctan(1/49)+128×arctan(1/57)-20×arctan(1/239)+48×arctan(1/110443)

beziehungsweise

pi=176×arctan(1/57)+28×arctan(1/239)-48×arctan(1/682)+96×arctan(1/12943)

Ein paar Hundert weiterer möglicher Berechnungsformeln findet man bei Wolfram Research und interessante statistische Auswertungen aus dem 1,2 Billionen Ziffern großen Zahlenwust hier. Wer mitmischen will (und möglichst einen DSL-Zugang hat) kann sich zumindest mal 200 Millionen Stellen von super-computing.org besorgen. (as)

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