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Zahlen, bitte! 0 – Nichts und doch so wichtig

Die Null spielt eine zentrale Rolle in der Mathematik, kam aber erst mit Einführung des dezimalen Stellenwertsystems in Mode und ist ein indischer Import, den kein geringerer als Leonardo Fibonacci mitbrachte.

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Zahlen, bitte! 0 – nichts und doch so viel…

Du bist eine totale "Null", ich schaffe das in "Nullkommanichts", das ist doch echt "Null Problemo", aber ich habe "Null Bock", hier eine "Nullrunde" zu schieben, das gibt es nicht zum "Nulltarif", die Absprache ist "Null und nichtig", da habe ich einfach "Null Toleranz"!

Die Null ist aus dem heutigen Sprachgebrauch nicht wegzudenken. Doch in der Mathematik spielt sie eine noch viel zentralere Rolle: Sie trennt nicht nur positive von negativen Zahlen, sondern ist das neutrale Element der Addition (0 + n = n), das absorbierende Element der Multiplikation (0 × n = 0), die Anzahl der Elemente der leeren Menge und die einzige vorzeichenlose reelle Zahl.

Zahlen, bitte!

In dieser Rubrik stellen wir immer dienstags verblüffende, beeindruckende, informative und witzige Zahlen aus den Bereichen IT, Wissenschaft, Wirtschaft und der Mathematik vor.

Aber seit wann gibt es die 0 eigentlich? Man sollte meinen, sie sei so alt wie die Mathematik selbst. Doch weit gefehlt: In der Antike kam man Jahrhunderte lang ohne 0 aus. Damals wollte man in der Regel Dinge zählen, sei es das eigene Vieh oder Wertgegenstände. Über etwas, das man nicht hatte, brauchte man nicht nachdenken.

In Babylonien wurden Stellen ohne Wert durch Lücken dargestellt, aber die 0 noch nicht explizit verwendet. Waren bei einer Subtraktion Minuend und Subtrahend gleich groß, notierte man sich dies, nutzte für das Ergebnis aber kein spezielle Zeichen.

Auch die Römer kannten keine 0, obwohl es die Begriffe "nullum" für "nicht etwas" und "nihil" für "nichts" gab. Wo wir heutzutage Nullen für den Stellenwert angeben, verwendeten sie Buchstaben wie X, C, M, was das Rechnen arg verkomplizierte.

Indirekt arbeiteten aber auch die Römer mit Nullen: Auf einem Rechenbrett ließen die Römer nicht besetzte Stellen einfach frei. Das war beim Rechnen selbst unproblematisch, aber bei der Dokumentation und schriftlichen Darstellung von Mengen nicht eindeutig, weswegen dies dann oft mit einem waagerechten Strich, teils auch kombiniert mit einem kleinen Kreis dargestellt wurde.

Die Maya symbolisierten die 0 durch eine Art Muschel.

(Bild:  Bryan Derksen, CC BY-SA 3.0 )

In Ägypten gab es ab 2. Jahrhundert v. Chr. eine Art Vorläufer der 0: In mathematischen Inschriften wurde die Hieroglyphe für "nichts" verwendet.

Die Maya waren circa 30 v. Chr. die ersten, die explizit ein Zeichen für die 0 verwendeten. Sie wurde im Zahlensystem mit einer Art Muschel dargestellt. Im Maya-Kalender gab es sogar einen Tag 0 – Informatiker wirds freuen.

Das dezimale Stellenwertsystem, wie wir es heute kennen, bildete sich im indischen Raum. Erste Belege für die damals noch als dicker Punkt dargestellte 0 finden sich im Bakhshali-Manuskript um 300 – 400 n. Chr.

Den Weg nach Europa fand die 0 durch den Kaufmann Leonardo da Pisa, heute besser bekannt als Leonardo Fibonacci. Er wurde in Algerien in verschiedenen Rechentechniken unterrichtet. So auch in denen, die indische und arabische Ziffern enthielten.

Ausschnitt aus Leonardo Fibonaccis "Liber Abbaci".

(Bild: gemeinfrei)

So hatte er die Möglichkeit, diese mit den bisher in Europa verbreiteten Rechenmethoden zu vergleichen. Er erkannte schnell, dass die indische Zahlennotation den anderen Methoden weit überlegen war.

Im ersten Kapitel seines Buches "Liber Ab(b)aci" führt er die noch heute gebräuchlichen Ziffern ein: "Novem figure indorum he sunt 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Cum his itaque novem figuris, et cum hoc signo 0, quod arabice zephirum appellatur, scribitur quilibet numerus, ut inferius demonstratur." oder auf Deutsch: "Dies sind die neun indischen Ziffern 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Mit ihnen und dem Zeichen 0, im arabischen Zephirum genannt, kann jede beliebige Zahl geschrieben werden, wie unten gezeigt."

Kaufleute und Mathematiker erkannten schnell die Nützlichkeit der indischen Zahlen, weil damit tabellarisches Addieren und Subtrahieren möglich wurde. Durch die vermehrte Nutzung der indischen Zahlen verschwanden die römischen Zahlen Anfang des 16. Jahrhunderts immer mehr aus dem Alltagsleben.

Siri, was ist 0:0? Apples digitale Assistentin kennt sich mit Mathe aus.

Dass die Division durch 0 nicht definiert ist, weiß heutzutage sogar Siri. Fragt man Apples digitale Assistentin, "Was ist 0 geteilt durch 0", antwortet sie anschaulich: "Stell dir vor, du hast 0 Kekse und verteilst sie gleichmäßig auf 0 Freunde. Wie viele Kekse bekommt jeder? Siehst du? Das macht keinen Sinn! Und das Krümmelmonster ist traurig, weil es keine Kekse mehr gibt und du bist traurig, weil du keine Freunde hast … 0 : 0 = unbestimmt".

Früher war man anderer Ansicht. So meinte der berühmte Mathematiker Leonhard Euler, die Division von 1 : 0 = ∞, weswegen er davon ausging, dass es verschiedene große Zahlen ∞ gab. 2 : 0 müsste also nach dieser Logik eine doppelt so große unendliche Zahl als Ergebnis haben wie 1 : 0.

In der Informatik hat die 0 ebenfalls einen großen Stellenwert. So zählt man Elemente in Datenfeldern, Schleifen oder Listen in der Regel ab 0 – so startete auch der Redaktions-Podcast "c't uplink" mit "Episode 0: Ein Podcast-Experiment". Gerade bei Anfängern führt diese Zählweise gerne mal zu "Off by One Errors" (OBOE), mitunter auch "Obi-Wan Error" genannt. Greift man bei einem Array mit 10 Elementen tatsächlich auf Array[10] zu, führt das zu einer Fehlermeldung oder zu einem Zugriff auf irgendwelche zufällig im Speicher liegenden Werte und somit unsinnigen Ergebnissen.

Während die 0 in der Mathematik vorzeichenlos ist, kann es in der Informatik durchaus nützlich sein, mit vorzeichenbehafteten Nullen zu arbeiten. In der Norm IEEE 754 ist das Verhalten der positiven und negativen Null für zahlreiche Operatoren spezifiziert. Hier ergibt per Definition die Rechnung von 1 : 0 = ∞ und 1 : -0 = -∞. Zahlen außerhalb des gültigen Wertebereiches (zu groß oder zu klein) werden als „∞“ und „-∞“ dargestellt, was häufig auch bei arithmetischen Überläufen ein sinnvolles Weiterrechnen ermöglicht.

Wandelt man vorzeichenbehaftete Zahlen versehentlich in vorzeichenlose Zahlen um, gerät man ins Schlamassel. Im mittlerweile wenig gebräuchlichen Einerkomplement wertet man das höchstwertige Bit als Vorzeichen. Eine 0 steht für + und eine 1 für -. Das Nibble (4 Bit) 0000 entspricht also +0, 1111 hingegen -0. In herkömmlicher Binärform stehen diese Werte allerdings für die Zahlen 0 und 15.

Bei Agenten steht die 00 für die "Lizenz zum Töten", bei Telefonnetzen hingegen für die "Verkehrsausscheidungsziffer" internationaler Gespräche und manchmal auch fürs stille Örtchen.

Letzteres stammt aus einer Zeit, in der Hotelzimmer noch keine eigenen Toiletten hatten. Stattdessen gab es Etagentoiletten zur gemeinsamen Nutzung, die meist direkt neben den Fahrstühlen oder Treppenaufgängen lagen. Wie in der Informatik begann man die Zählung mit 00, während die Gästezimmer auf jeder Etage mit 01, 02, 03 et cetera bezeichnet wurden.

Es gibt noch zahlreiche weitere Nullen, etwa die Nullpunktenergie, die Nulltemperatur, den Nullraum oder die Nullzeit beim Tauchen.

Die 0 ist also weit mehr als nichts ... (André Haase) / (vza)

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