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Zahlen, bitte! 2,75 Billiarden – vom Skat und dem Zufall

Deutschlands liebstes Spiel (nach Fußball) ist seit 2016 Unesco-Kulturerbe und es gibt immer wieder Anlass für alle möglichen Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen.

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Inhaltsverzeichnis

Auf Hunderten von Skat- und Kombinatorik-Sites findet man sie, die Zahl der möglichen Verteilungen in einem Skatspiel: 2.753.294.408.504.640. Diese Zahl dient als Grundlage für alle möglichen Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen, etwa für vier Buben auf einer Hand, für einen Grand Ouvert, für das Wegstechen von blanken Assen und so weiter. Bei all diesen Fragen nimmt man immer eine Gleichwahrscheinlichkeit aller 2,75 Billiarden Verteilungen an, aber ist das im realen Spiel auch gegeben?

Zahlen, bitte!

In dieser Rubrik stellen wir immer dienstags verblüffende, beeindruckende, informative und witzige Zahlen aus den Bereichen IT, Wissenschaft, Wirtschaft, Kunst und natürlich der Mathematik vor.

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Kaum zu glauben, wagte es doch neulich Mitspieler Axel der c't-Skatrunde einen unschlagbaren Grand Ouvert in der Vorhand vorzulegen. Hatte er den Geber irgendwie mit Weizenbier bestochen? Eher nicht, aber wie häufig kommt so ein Superblatt in der Realität vor? War es vielleicht eine Art Wiedergutmachung des Schicksals, denn wenige Wochen zuvor wurden ihm an einem Abend kurz nacheinander dreimal blanke Asse weggestochen.

Der Traum eines jeden Skatspielers: So einen narrensicheren Grand Ouvert auf die Vorhand (real gespielt am 3. April 2019 in der c't-Skatrunde) sieht man nur alle 24.000 Spiele, jedenfalls wenn die Karten gleichverteilt sind ...

(Bild: Axel Vahldiek)

Zum Warmlaufen aber kommen erst einmal ein paar Fingerübungen zu den 2,75 Billiarden möglichen Verteilungen des UNESCO-Kulturerbes. Das kann man leicht nachrechnen, wenn man nur weiß, wie man "wähle a unterscheidbare Elemente aus insgesamt b" ausrechnet. Mathematisch ist das die sogenannte Kombination, die üblicherweise als "b über a" bezeichnet wird. Im englischen Sprachraum benennt man das etwas treffender als "b choose a" oder zuweilen in Kurzform bCa. Dabei gilt: (b über a) = b!/(a!*(b-a)!) mit dem Ausrufezeichen für die Fakultät. In Excel heißt die entsprechende Funktion KOMBINATIONEN(b; a).

Beim Skatspiel hat man 32 Karten, wählt zunächst die 10 Vorhand-Karten, das macht also (32 über 10) Möglichkeiten, dann verbleiben für Mittelhand noch 22 Karten, also (22 über 10) Möglichkeiten, (12 über 10) für Hinterhand und (2 über 2) =1 für den verbleibenden Skat. Multipliziert man alles miteinander, so erhält man 32!/(2·(10!)3) und das ergibt obige 2.753.294.408.504.640.

Deutlich komplizierter verhält es sich da schon mit den Verteilungen beim Doppelkopf, denn dort hat man es mit paarweise ununterscheidbaren Karten zu tun – eine Vertauschung solcher Karten ändert also nichts an der Verteilung – und schon wirds kompliziert. Als Physiker würde man sagen, das ist wie der Übergang von der klassischen Maxwell-Boltzmann- zur quantenmechanischen Fermi-Dirac-Statistik. So eine einfache Formel wie bei Skat gibt es hier nicht, man muss mühsam Fallunterscheidungen machen, Teilsummen bilden und diese aufsummieren. Man kommt dann bei 4 × 12 Karten auf 2.248.575.441.654.260.591.964 Möglichkeiten (siehe auch die Folge A172660 in der On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, wo man sogar Hyperastronomische Zahlen mit bis zu 49 Karten pro Spieler findet).

Obige Frage nach den unschlagbaren "revolutionssicheren" Grand Ouverts – die Gegenspieler dürften sogar Karten tauschen, würde aber auch nichts helfen – ist natürlich ebenfalls ein Klassiker im Skatspiel. Der deutsche Skatverband ging schon 1958 in Die mathematische Seite des Skatspiels ausführlich darauf ein.

Auch hierfür gibt es keine einfache Formel, man muss die Möglichkeiten zudem getrennt nach Vor- (V), Mittel- (M) und Hinterhand (H) betrachten. Bekanntlich hat der Grand-Spieler in der Vorhand deutliche Vorteilte. Klar, wenn alle vier Buben in einer Hand sitzen und im Beiblatt alle Farben "dicht" sind, ist es egal, ob man V, M oder H ist. Wie sich das im Einzelnen verhält und wann eine Fehlfarbe "dicht" ist, kann man der genannten Veröffentlichung des 1899 in Altenburg gegründeten Deutschen Skatvereins entnehmen. Vorhand hat jedenfalls weitaus mehr Chancen, nämlich 2707/64.512.240, Mittelhand 292/64.512.240 und Hinterhand 296/64.512.240. Insgesamt ist die Chance also etwa 1:20.000 Spiele. Bei unser 14-täglichen Runde wäre das also etwa alle 16 Jahre – oder auf einen einzelnen Spieler mit ähnlichem Spielrhythmus bezogen vielleicht einmal im Skatleben ...

Leichter ist die Frage zu beantworten, wie hoch denn die Chance für vier Buben auf der Hand ist, die ist nämlich für jeden Spieler einfach (28 über 6) / (32 über 10) ungefähr 0,58 % oder 1:171. Bei turnierüblichen 48 Spielen kann man davon ausgehen, dass es einmal am Abend vorkommt.

Was, Sie haben das Gefühl, das ist bei Ihrer Runde häufiger? Das kann durchaus sein. Denn diese wie all die anderen zahlreichen veröffentlichten Wahrscheinlichkeiten gehen von einer Gleichwahrscheinlichkeit aller obigen 2,8 Billiarden Verteilungen aus. Doch ist das bei durchschnittlichen deutschen Skatspielen, sei es in der Kneipe oder in Turnieren, wirklich der Fall? Das kommt ganz aufs Mischen an. Bevor es hier in medias res geht, erst einmal ein kleiner Überblick über die häufigsten Mischtechniken.

  • Überhand-Mischen, (overhand shuffle): Mit einer Hand werden vom Kartenstapel in der zweiten Hand kleine Päckchen von oben abgezogen und den Stapel untergeschoben. Dies ist wohl gängigste Mischmethode in Deutschland. Variante Strip Shuffle: nicht in der Hand, sondern auf dem Tisch.
  • Durchwühlen, Wuseln, Kinder- oder Loriotmischen (scramble shuffle): Ein Kartenstapel wird mit den Bildern nach unten auf einem Tisch ausgebreitet und mit den Händen in kreisförmigen Bewegungen durchmischt. Es wird oft belächelt, steht aber in dem Ruf, eine gute Gleichverteilung zu garantieren. Bei alten, speckigen Karten nimmt die Mischqualität aber schnell ab.
  • Pokermischen (riffle shuffle): Der Kartenstapel wird in zwei in etwa gleich große Teilstapel geteilt, die dann mit Hilfe des Daumens nach oben gewölbt und durch gleichzeitiges Loslassen ineinander verzahnt werden. Das kann in der Hand geschehen, wobei Geübte effektvoll auch noch das Zusammenschieben der verzahnten Teilstapel mit einem Bogen, auch Kaskade genannt, zelebrieren – das ändert aber nichts an der Verteilung, sieht nur gut aus. In Casinos ist aber eher das Riffeln auf dem Tisch üblich. Manche Kartenkünstler beherrschen sogar das einhändige Riffeln.
  • Ineinanderdrücken oder Fächern (weave, Faro shuffle): Der Kartenstapel wird in etwa gleich große Teilstapel geteilt und diese gegeneinandergedrückt bzw. zuvor aufgefächert und dann ineinander geschoben.
  • Abheben (cut): Strip Shuffle mit nur einem Paket, beim Skat muss dabei die Paketgröße zwischen 4 und 28 liegen.
"Nur auf diese Weise werden die Karten wirklich gemischt" (ab 2:30)

Der durchschnittliche deutsche Skatspieler mischt schon seit Generationen per "Überhand" – und die Mathematiker, die diese Mischtechnik schon vor Jahrzehnten erforscht und simuliert haben, pinseln seitdem regelmäßig aus informationstheoretischer Sicht ein klares "mene tekel upharsin" an die Wand: gewogen und zu leicht befunden!