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Zahlen, bitte! Bis 163 und nicht weiter: die Heegner-Zahlen

Unendliche Zahlenfolgen mit obskuren Gesetzmäßigkeiten gibts zuhauf. Bei den Heegner-Zahlen ist dagegen bei 163 Schluss – was nicht leicht zu beweisen war.

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163

In der April-Ausgabe 1975 des Scientific American berichtete der Kolumnist Martin Gardner von "sechs sensationellen Entdeckungen, die der Öffentlichkeit irgendwie entgangen sind" – allesamt Aprilscherze, versteht sich. Etwa die wiedergefundene Seite aus Leonardo da Vincis Notitzbuch, die belegt, dass er der wahre Erfinder der Toilette mit Wasserspülung ist.

Zahlen, bitte!

In dieser Rubrik stellen wir immer dienstags verblüffende, beeindruckende, informative und witzige Zahlen aus den Bereichen IT, Wissenschaft, Wirtschaft, Kunst und natürlich der Mathematik vor.

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Oder das Schachprogram MacHic, das so heißt, weil es manchmal wie besoffen spielt. Es lernt angeblich aus seinen Fehlern und wurde Anfang 1974 gestartet, um gegen sich selbst zu spielen. Nach sieben Monaten Rechenzeit hatte es die unbesiegbare Eröffnung für Weiß gefunden – und die Schachwelt forderte daraufhin seine Zerstörung. Ziemlich prophetisch von Gardner, konnten wir doch erst vor Kurzem auf heise online darüber berichten, wie Googles KI Schach veränderte.

Und dann war da die Zahlentheorie. Laut Gardner hatte das indische Mathe-Wunder Srinivasa Ramanujan vermutet, dass die Zahl eπ√163 eine ganze Zahl ist, und das sei nun endlich bewiesen worden. Das wäre schon sehr erstaunlich, denn die Wurzel aus 163 ist irrational und die Eulersche Zahl e sowie die Kreiszahl π sind "noch irrationaler" (genauer: transzendent, wozu es übrigens einen wunderschönen Beweis auf YouTube gibt). Tatsächlich ist der Wert 262.537.412.640.768.743,999999999999250…, und es ist nachvollziehbar, warum viele Menschen, die mit den Computern der 70er-Jahre nachzurechnen versuchten, darauf hereinfielen.

Nun kann dieser Aprilscherz nicht im Nachhinein wahr werden, denn die Zahlen bleiben, wie sie sind. Aber dieser Zahlenwert ist seitdem als Ramanujan-Konstante bekannt, obwohl Ramanujan selbst ihn nie erwähnt hat (er hat andere spektakuläre Beispiele von Fast-Ganzzahlen wie eπ√58 = 24.591.257.751,9999998 geliefert, aber eben nicht diese).

Wie kommt man ausgerechnet auf 163? Die genauen mathematischen Zusammenhänge sind kompliziert, aber es handelt sich dabei um die größte der sogenannten Heegner-Zahlen. Eigentlich hätte man sie auch nach Gauß benennen können, denn schon Carl Friedrich Gauß hatte sie in seinen 1801 erschienenen Disquisitiones arithmeticae behandelt und vermutet, dass es nur endlich viele davon gibt, konnte das aber nicht beweisen.

Bekanntlich lässt sich jede ganze Zahl auf eindeutige Weise (bis auf die Reihenfolge) in Primfaktoren zerlegen, beispielsweise ist 20 = 2·2·5 oder 30 = 2·3·5, wobei die Primzahlen genau diejenigen Zahlen sind, die ihrerseits nicht weiter zerlegbar sind. Diese Eigenschaft der ganzen Zahlen, die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung, findet man nun auch bei anderen, erweiterten Zahlenbereichen wieder, allen voran den Gaußschen Zahlen. Das sind die komplexen Zahlen der Form a+bi, wobei a und b ganze Zahlen sind und i die Quadradwurzel aus –1.

In den Gaußschen Zahlen sind die Primzahlen andere als die gewohnten – 5 ist zum Beispiel keine, denn 5 = (2+i)·(2–i) –, aber die Primfaktorzerlegung ist (bis auf Multiplikation mit ±1 und ±i) eindeutig. Nun kann man sich fragen, was passiert, wenn man statt der Quadratwurzel aus –1 die Wurzel aus –2 verwendet, oder allgemein die einer anderen quadratfreien Zahl –d.

Es stellt sich heraus, dass die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung keineswegs selbstverständlich ist. Für d = 1, 2, 3 ist sie gegeben, aber schon für d = 5 nicht: 6 = 2·3 = (1 +√–5)·(1 –√–5). Das kleine zahlentheoretische Wunder ist nun: Die Primfaktorzerlegung im Bereich der Zahlen a + b·√–d ist eindeutig für d = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163 … und man ist versucht, "und so weiter" zu sagen, aber es geht eben gerade nicht weiter: Diese Liste ist vollständig. Gauß hatte das bereits 1801 vermutet, aber erst 1952 fand der deutsche Privatgelehrte Kurt Heegner den Beweis.

Er wurde aber aufgrund einiger kleiner Fehler von der Fachwelt nicht anerkannt. Harold Stark lieferte 1967 einen eigenen Beweis und veröffentlichte 1969 ein Paper, das die kleinen Lücken in Heegners Beweis schloss und somit klarstellte, dass Heegner die Sache im Wesentlichen bewiesen hatte, weshalb die Zahlen heute nach ihm benannt sind.

Die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung hat kuriose Konsequenzen, etwa die schon Leonhard Euler bekannte Tatsache, dass das Polynom x2 – x + 41 für x = 1, 2, …, 40 lauter Primzahlen liefert. Die 163 versteckt sich hier in der 41: Der Zaubertrick klappt mit dem Polynom x2 – x + a genau dann, wenn 4·a–1 eine Heegner-Zahl ist.

Und wie geht es nun weiter mit den Heegner-Zahlen? Es ist wie oben gesagt eine endliche Zahlenfolge, aber wer Spaß an Wie-geht-es-weiter-Fragen hat, dem sei die On-Line Encyclopedia of Integer Sequences wärmstens ans Herz gelegt. Dort kann man nämlich genau solche Fragen stellen und findet nach Eingabe von 1, 2, 3, 7, 11, 19 nicht nur die Heegner-Zahlen, sondern auch andere mathematisch bedeutsame Fortsetzungen. Wenn Sie Zahlen mögen: Vorsicht, Suchtgefahr! (bo)