Menü

Zahlen, bitte! Die 17 Ecken des Carl Friedrich Gauß

Wie teilt man eigentlich eine Torte gerecht in 17 Teile? Die Lösung fand Carl Friedrich Gauß nur mit Zirkel und Lineal.

Lesezeit: 2 Min.
In Pocket  speichern vorlesen Drucken Kommentare lesen 142 Beiträge
Von

Zahlen, bitte!

In dieser Rubrik stellen wir immer dienstags verblüffende, beeindruckende, informative und witzige Zahlen aus den Bereichen IT, Wissenschaft, Wirtschaft, Kunst und natürlich der Mathematik vor.

mehr anzeigen

Schon Euklid konstruierte nur mit Lineal und Zirkel regelmäßige Polygone (also solche mit gleichlangen Seiten) mit geraden Eckzahlen sowie mit 3, 5 und 15 Ecken. Doch es gelang ihm nicht, mit diesen Methoden regelmäßige 7- oder 9-Ecke oder gar ein 17-Eck (Heptadekagon) zeichnen.

Auftritt Carl Friedrich Gauß: Rund 2000 Jahre nach Euklid, Im Jahr 1796, fand der damals 18-jährige Student heraus, dass sich das 17-Eck ebenfalls mit euklidischen Werkzeugen konstruieren lässt, wie man in seiner ersten Veröffentlichung im "Intelligenzblatt der allgemeinen Literaturzeitung" nachlesen kann: "Desto mehr, dünkt mich, verdient die Entdeckung Aufmerksamkeit, dass außer jenen ordentlichen Vielecken noch eine Menge anderer, z. B. das Siebzehneck, einer geometrischen Konstruktion fähig ist."

Bis zu dieser Entdeckung war Gauß angeblich noch unentschlossen, ob er Sprachen oder Mathematik studieren sollte, entschied sich aber dann glücklicherweise für das Studium der Mathematik.

Die ersten fünf konstruierbaren regelmäßigen Polygone

Ob ein n-Eck mit euklidischen Werkzeugen konstruierbar ist, hängt davon ab, ob sich der Cosinus des Mittelpunktswinkels durch Kombinationen aus rationalen Zahlen und Quadratwurzeln ausdrücken lässt. Denn mit Lineal und Zirkel kann man sowohl Längenverhältnisse als auch – Pythagoras sei Dank – Quadratwurzeln bestimmen. Beim 7- und 9-Eck klappt das nicht, sie sind nicht geometrisch konstruierbar. Beim 17-Eck ist das Ergebnis für den Cosinus 360°/17 zwar etwas sperrig, lässt sich aber in geeigneter Weise darstellen (siehe Bild unten).

Die analytische Herleitung würde den Platzrahmen dieses Artikels sprengen, sie lässt sich aber etwa bei Mathematik alpha oder der Uni Bremen nachlesen.

Gauß zeigte zwar, dass sich das Heptadekagon konstruieren lässt, veröffentlichte selbst aber keine Konstruktionsanleitung. Die erste Anleitung stammt von Johannes Erchinger aus dem Jahr 1825 und umfasst 64 Schritte; danach gab es noch einfachere Konstruktionsvorschriften, etwa die von Herbert William Richmond (1893).

Das 17-Eck ist mit euklidischen Werkzeugen konstruierbar, weil sich der Cosinus des Mittelpunktswinkel als Kombination aus rationalen Zahlen und Quadratwurzeln schreiben lässt.

Wer mit dem Werk von Carl Friedrich Gauß vertraut ist, der ahnt, dass er es nicht mit dem 17-Eck bewenden ließ. Schon in dem "Intelligenzblatt" von 1796 deutete er an, dass er Größerem auf der Spur war: "Diese Entdeckung ist eigentlich nur ein Corollarium einer noch nicht ganz vollendeten Theorie von größerm Umfange, und sie soll, sobald diese ihre Vollendung erhalten hat, dem Publikum vorgelegt werden."

Das Gauß-Denkmal in seiner Geburtsstadt Braunschweig ziert ein siebzehnzackiger Stern.

(Bild: Brunswyk, CC BY-SA 3.0 )

Tatsächlich wollte Gauß allgemein ableiten, unter welchen Bedingungen sich regelmäßige Polygone mit n Ecken konstruieren lassen. Dazu führte er das Problem auf die Aufgabe zurück, in der komplexen Zahlenebene Lösungen für die Kreisteilungsgleichung xn = 1 zu finden. 1801 bewies er dann ein hinreichendes Kriterium für die Konstruierbarkeit regelmäßiger n-Ecke:

Damit sich ein regelmäßiges n-Eck konstruieren lässt, muss n eine Primzahl der Form n = 22^k + 1 mit k ∈ ℕ sein, genauer gesagt eine Fermatsche Primzahl. Anders formuliert: Es lassen sich nur regelmäßige n-Ecke mit Zirkel und Lineal konstruieren, deren ungerade Eckenzahl n ein Produkt Fermatscher Primzahlen ist.

Gauß wusste zwar offenbar, dass sein Kriterium nicht nur hinreichend, sondern auch notwendig ist, hat das aber nie bewiesen; das tat Pierre-Laurent Wantzel im Jahr 1837.

Aus dem Beweis von Gauß folgt, dass es vermutlich nur eine Handvoll konstruierbare regelmäßige Polygone mit ungeraden Eckzahlen gibt, nämlich die mit 3, 5, 17, 257 und 65537 Ecken – mehr Fermatsche Primzahlen sind bis heute jedenfalls nicht bekannt.

Die erste Konstruktionsvorschrift für das 257-Eck lieferte Magnus Georg Paucker (1822). Wer Zeit und Muße hat, kann aber auch das 65537-Eck mit Lineal unter Zirkel konstruieren ... statt in hervorragender Näherung einfach einen Kreis zu zeichnen. Nach über zehnjähriger Arbeit an diesem Problem lieferte Johann Gustav Hermes 1894 tatsächlich eine über 200 Seiten umfassende Konstruktionsvorschrift dafür ab; der Koffer mit dem Manuskript soll heute noch in der Mathematischen Bibliothek der Georg-August-Universität zu Göttingen stehen. Hintergründe dazu kann man online in "Ueber die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile" nachlesen.
(vza)