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Zahlen, bitte! Die selbstreproduzierenden Friedman-Zahlen

1435 lässt sich darstellen als 35·41. Was daran besonders ist? Diese Berechnung verwendet genau die Ziffern, aus denen die ursprüngliche Zahl bestand.

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Zahlen, bitte!

In dieser Rubrik stellen wir immer dienstags verblüffende, beeindruckende, informative und witzige Zahlen aus den Bereichen IT, Wissenschaft, Wirtschaft, Kunst und natürlich der Mathematik vor.

Erich Friedman, mittlerweile emeritierter Professor für Mathematik an der Stetson University in Florida, lud die Leser seiner mathematischen Puzzle-Ecke Math Magic im August 2000 dazu ein, sich mit seinen "Friedman-Zahlen" zu beschäftigen. Eine Friedman-Zahl lässt sich als mathematischer Ausdruck genau aus ihren Ziffern berechnen, wenn man als Operationen die vier Grundrechenarten +, –, ·, / sowie Exponentiation, beliebige Klammern und das Hintereinanderschreiben von Ziffern benutzen darf. (Und natürlich muss für die Krümelkacker angemerkt werden, dass nur nichttriviale Ausdrücke gemeint sind: Jede Zahl ergibt sich trivialerweise durch Hintereinanderschreiben all ihrer Ziffern.)

Die kleinste Friedman-Zahl ist 25 = 52, gefolgt von 121 = 112 und 125 = 51+2. Manche Friedman-Zahlen sind besonders schön, weil man für ihre Berechnung ihre Ziffern auch noch in der richtigen Reihenfolge verwenden kann, beispielsweise 1285 = (1 + 28)·5.

Die Eigenschaft dieser Zahlen, sich mittels bestimmter Operationen aus ihren Ziffern reproduzieren zu können, erinnert an selbstreproduzierende Programme, die sogenannten Quines. (Knobelaufgabe: Schreiben Sie in Ihrer Lieblingssprache ein Programm, das genau seinen eigenen Quellcode ausgibt. Spoiler-Warnung: Python-Lösung weiter unten im Artikel.) Bei den Friedman-Zahlen ist es allerdings so, dass sie nur die Zutaten enthalten, aber nicht das Kochrezept.

Friedman veröffentlichte auf seiner Seite alle 72 Friedman-Zahlen mit bis zu vier Ziffern als Puzzle für seine Leser; wer Spaß am Knobeln hat, sollte aber nicht dort schauen (Spoiler!), sondern anhand der Liste A036057 in der On-Line Encyclopedia of Integer Sequences versuchen, die Rechenvorschriften selbst auszutüfteln. Es gab aber auch noch eine härtere Nuss, nämlich die Frage nach der "Dichte" der Friedman-Zahlen: Wenn man alle Zahlen bis zu einer Obergrenze n betrachtet, wie viel Prozent davon sind dann Friedman-Zahlen und wie verhält sich dieser Prozentsatz, wenn n gegen unendlich geht?

Hierauf hat Michael Brand die überraschende Antwort gefunden: Der Wert geht gegen 100 %, salopp gesagt sind also fast alle Zahlen Friedman-Zahlen. Das würde man anhand der ersten paar Tausend Beispiele nicht vermuten: Nur 72 der Zahlen bis 10.000 sind Friedman-Zahlen, also 0,72 %; unter den Zahlen bis 100.000 sind es gerade mal 0,844 %. Giovanni Resta hat 2013 alle 8.968 sechsstelligen Friedman-Zahlen berechnet, was für den Bereich bis 1.000.000 einen Prozentsatz 0,9812 % ergibt.

Anders als die Primzahlen, die mit wachsender Größe immer dünner gesät sind, werden die Friedman-Zahlen immer dichter. Wenn man den Beweis kennt, erscheint das rückwirkend plausibel: Für große Zahlen gibt es ja sehr viele Möglichkeiten, die Ziffern zu mathematischen Ausdrücken zu kombinieren, "das wird schon irgendwie klappen".

Dass der Prozentsatz nicht gegen null geht, haben zuvor bereits Brendan Owen und Mike Reid belegt, indem sie Suffixe fanden, die man an eine beliebige Zahl anhängen kann, um sie zu einer Friedman-Zahl zu machen. So ist x12588304 eine Friedman-Zahl für jede Zahl x, denn sie errechnet sich als x·108 + 35482: Es ist 35482 = 12588304 und das sind genau die Ziffern, die an x angehängt werden, indem man x mit 108 multipliziert und sie hinzuaddiert. Unter jeweils 108 aufeinanderfolgenden Zahlen ist also immer mindestens eine Friedman-Zahl, nämlich diejenige, die auf 12588304 endet. Das Beispiel von Reid: x46656 = x·(4+6)5 + 66. Gleiches Prinzip: 66 = 46656 und die restlichen Ziffern werden für Rechenoperationen benutzt, die x um genau die richtige Anzahl von Stellen nach links verschieben.

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