Berechnung des Schattenwinkels auf einem Foto

Foto: Christian Spicker/Agentur Imago

Wann wurde das Foto aufgenommen, das der ARD-Faktenfinder als Beleg verwendete, um die Teilnehmerzahl an der "Querdenken"-Kundgebung abzuschätzen?

Eigentlich hätte am Samstag die nächste Demonstration der "Querdenker" - Berlin invites Europe - in Berlin stattfinden sollen. Geplant war auch eine größere Gegendemonstration mit Beteiligung der Linken, der Grünen und der SPD Berlin. Doch heute hat die Berliner Versammlungsbehörde nun die Demonstrationen am Wochenende verboten. Als Grund wird genannt, "dass es bei dem zu erwartenden Kreis der Teilnehmenden zu Verstößen gegen die geltende Infektionsschutzverordnung kommen wird", so die Senatsverwaltung: "Besondere Auflagen – wie zum Beispiel das Tragen einer Mund-Nasen-Bedeckung – als milderes Mittel seien bei den angemeldeten Versammlungen nicht ausreichend. Die Versammlungen vom 01.08.2020 hätten gezeigt, dass die Teilnehmenden sich bewusst über bestehende Hygieneregeln und entsprechende Auflagen hinweggesetzt haben." Auch die angekündigten Zeltlager würden nicht geduldet. Berlins Innensenator Andreas Geisel begrüßte die Entscheidung: "Das ist keine Entscheidung gegen die Versammlungsfreiheit, sondern eine Entscheidung für den Infektionsschutz."

Bei der letzten Demonstration am 1. August gab es weit auseinander liegende Angaben über die Zahl der Teilnehmer. Die Polizei sprach von 20.000 Teilnehmern, die Veranstalter und Unterstützer von 800.000 bis zu 1,2 Millionen. Manche unparteiische Beobachter machen 60.000 oder 80.000 Teilnehmer aus. Mit dem Verbot wird sich nicht sehen und überprüfen lassen, wie viele Teilnehmer dieses Mal die Veranstalter hätten mobilisieren können. Absehbar ist, dass die Entscheidung die Corona-Proteste verstärken wird.

Telepolis hatte auch darüber berichtet (20.000 oder eine Million Corona-Protestierende in Berlin?), dass ein Streit über ein Foto ausgebrochen ist, das die ARD publizierte. Im Vergleich zu einem Foto von der Love Parade aus dem Jahr 1997 aus einer vergleichbaren Perspektive wurde vom Faktenfinder zu belegen versucht, dass die "Querdenker" die Straße des 17. Juni nur spärlich bevölkert hatten, was für die Teilnehmerzahl der Polizei spräche. Eine Angabe über den Aufnahmezeitpunkt wurde nicht gemacht, der Fotograf hatte auf eine Anfrage von Telepolis nicht geantwortet.

Streitpunkt wurde die Aufnahmezeit. Kritiker behaupteten, es sei um etwa 13.30 entstanden, als der Demonstrationszug noch unterwegs war, weswegen nur wenige Teilnehmer sich bereits hier eingefunden hätten. Die Kundgebung fand ab etwa 15 Uhr statt. Der Blog Recherchiv nahm sich die Schattenwürfe der Bäume auf die Straße auf dem Foto vor und kam auch auf etwa 13:30 Uhr als Aufnahmezeit. Die ARD-Pressestelle teilte Telepolis auf Anfrage mit: "Das Foto stammt von der Agentur Imago. Es wurde, so teilte der Fotograf am vergangenen Sonntag auf Anfrage mit, um 15:39 Uhr aufgenommen - und zwar von der obersten Plattform der Siegessäule aus. Wir haben nach Ihrer Anfrage zur Sicherheit noch einmal bei dem Fotografen nachgefragt, der noch einmal in die Daten der Bilddatei geschaut hat. Das Ergebnis: 15:39 Uhr. Uns liegen die Daten vor. "

Für Dr. Horst Käsmacher war dies Anlass, mit einem eigenen Ansatz noch einmal die Schattenwürfe zu überprüfen, um die Uhrzeit abzuschätzen. Er kaufte sich das Foto, das aber nur Informationen über Auflösung und das Aufnahmedatum enthielt, nicht aber, wie sonst üblich, die Uhrzeit. Nach seiner unten veröffentlichten Analyse kommt auch er auf einen früheren Zeitpunkt der Aufnahme. Falls Leser Fehler in der Argumentation und Berechnung entdecken, bitten wir um Benachrichtigung.

Herr Käsmacher ist Arzt für Anästhesiologie und Intensivmedizin im Ruhestand. Vor seiner letzten Tätigkeit im eigenen ambulanten Op-Zentrum war er 16 Jahre in einer großen westdeutschen Uniklinik tätig, davon 10 Jahre als Oberarzt. Neben der Op-Organisation im Wechsel mit einigen Kollegen gehörte auch das Notfallmanagement zu seinen Aufgaben.

Wie die meisten Kollegen in seiner Position war er in dieser Zeit wissenschaftlich tätig. Neben Arbeiten zum Einsatz Künstlicher Intelligenz in der Herzanästhesie mittels Fuzzy Logic war sein Arbeitsschwerpunkt die Herz-Kreislauf-Physiologie. Mit Methoden der damals aufkommenden Chaostheorie analysierte und simulierte er Herzrhythmusstörungen und war an mehr als 50 wissenschaftlichen Publikationen beteiligt. Wissenschaftliche Methoden ebenso der Umgang mit Exponentialfunktionen sind ihm daher vertraut. Als Hobbypilot und Hobbymaler erwarb er Kenntnisse über Navigation und Perspektive.

Das umstrittene Foto der Demonstration am 1.8.2020, das die Straße des 17. Juni mit dem Brandenburger Tor im Hintergrund zeigt, ist von der Siegessäule aus aufgenommen worden. Da die Siegessäule ebenso wie das Brandenburger Tor auf der Verlängerungsline der Straßenmitte steht, handelt es sich um eine Zentralperspektive mit nur einem Fluchtpunkt auf der Horizontlinie. Das vereinfacht die Analyse sehr.

Methodik

Die Abbildung zeigt die Konstruktion einer Perspektivansicht. Links unten die Draufsicht auf ein quadratisches Fliesenmuster. In der Draufsicht verlaufen alle waagerechten und senkrechten Linien parallel und alle Winkel betragen 90°. Nun legt man die Horizontlinie fest. Der Abstand der Horizontlinie von der Basislinie entscheidet über Blickhöhe und Brennweite. Legt man den Horizont sehr nahe parallel zur Basislinie, dann entspricht das einem Weitwinkelobjektiv mit kleiner Brennweite und/oder einer geringen Höhe. Umgekehrt bedeutet eine größere Entfernung von der Basislinie einen höheren Standpunkt und/oder eine größere Brennweite.

Nach der Festlegung der Horizontlinie zieht man eine senkrechte Linie von Punkt P nach oben, so dass die Horizontlinie im Winkel von 90° geschnitten wird. Auf diese Weise ergibt sich die Lage des Fluchtpunktes. Nun verbindet man alle Punkte auf der Basislinie mit dem Fluchtpunkt. Auf diese Weise entstehen Fluchtlinien. Damit sind die vertikal verlaufenden Linien des Fliesenbodens definiert. Nun zieht man von Punkt P aus eine Linie im Winkel von 45° nach links. Diese Linie schneidet den Horizont. Wir nennen den Punkt D. Zieht man eine Linie von Punkt D nach unten rechts auf die Ecke der Fliese rechts oben, dann entspricht dies ebenfalls einer Diagonale, die aber auf der perspektivischen Abbildung einen anderen Winkel hat. Zieht man dann jeweils eine horizontale Linie durch alle Punkte, an denen die Diagonallinie die Fluchtlinien schneidet, so entsteht eine korrekte perspektivische Abbildung der quadratischen Fliesen. Gut erkennbar ist, dass die horizontalen Linien immer näher aneinander rücken, je weiter man sich dem Horizont nähert. Der Abbildungswinkel der Diagonalen wird deswegen immer kleiner.

Ebenso, wie man aus einer Draufsicht eine perspektivische Ansicht konstruieren kann, kann man umgekehrt aus einer perspektivischen Ansicht auch eine korrekte Draufsicht gewinnen. Die rechte Grafik in der Abbildung zeigt, wie man den Winkel eines Schattens ermittelt.

Dazu wählen wir an beliebiger Stelle einen Punkt P, an dem das senkrecht stehende schattengebende Objekt den Boden berührt. Der Schattenverlauf ist als eine etwas dickere Linie gezeichnet. Zuerst verbindet man den Punkt P mit dem Punkt B und anschließend mit dem Punkt D. Auf diese Weise entsteht der Winkel α, der einem Winkel von 45° in der Draufsicht entspricht.

Bei den Zeichenprogrammen, wie etwa in dem hier verwendeten Programm Microsoft Paint. liegt der Ursprung des Koordinatensystems in der linken oberen Bildecke. Dort ist die horizontale Koordinate des Punktes (X) ebenso wie die vertikale Koordinate (Y) gleich null. Mit der Maus lassen sich nun die Koordinaten aller Punkte pixelgenau feststellen.

Zur Bestimmung des Winkels α genügt dann die Kenntnis des vertikalen Abstandes zwischen Punkt D und B, der die Gegenkathete bildet, und der horizontale Abstand der Punkte B und P, der die Ankathete bildet. Der Arcustangens der Strecke BD/BP ist dann gleich dem Winkel α. Die Strecke BD ist gleich der Differenz der Y-Koordinaten und die Strecke BP entspricht der Differenz der X-Koordinaten beider Punkte.

Auf die gleiche Weise lässt sich der Winkel des Schattens ermitteln. Dazu zieht man eine dünne Linie möglichst genau von Punkt P aus durch den Schattenverlauf. Diese Line schneidet dann die vertikale Verbindungslinie zwischen den Punkten B und D. Diesen Schnittpunkt bezeichnen wir mit S. Winkel β errechnet sich dann aus dem Arcustangens der Strecken SB/BP.

Die verwendete Fotografie hat eine Auflösung von 5.332 x 3.552 Pixeln.

Um die Schattenlinie genau zu treffen, benötigt man etwas Augenmaß. Dadurch können Fehler entstehen. Um diese Fehler auszugleichen ist es sinnvoll, mehrere unabhängige Punkte zu untersuchen und den gefundenen Winkel zu mitteln. Der mögliche Fehler lässt sich dann durch die Standardabweichung ausdrücken. Je weiter die Punkte B, P und S auf der Abbildung auseinander liegen, umso genauer wird das Ergebnis. Hat man nun die Winkel α und β ermittelt, lassen sich durch einen einfachen Dreisatz die entsprechenden Schattenwinkel γ in der Draufsicht ermitteln. Die Formel lautet.

γ = 45β/α

Kommen wir nun zur Fotografie. Die verwendete Fotografie hat eine Auflösung von 5.332 x 3.552 Pixeln.

Die Aufnahme wurde von der obersten Aussichtsplattform der Siegessäule gemacht. Weil die Siegessäule praktisch auf der Verlängerung der Mittellinie der Straße steht und der Straßenverlauf damit senkrecht vom Beobachter wegführt, haben wir es mit einer Zentralperspektive zu tun. Es gilt also zunächst, die notwendigen Punkte zu ermitteln. Bei einer Vergrößerung des Bildes fällt auf, dass die horizontale Linie des Brandenburger Tors etwas "rechtslastig" ist. der Fotograf hat die Kamera also nicht ganz horizontal ausgerichtet.

Wie auf der Vergrößerung leicht zu erkennen ist, hat der Fotograf die Kamera nicht genau horizontal ausgerichtet. Die querverlaufenden Linien des Brandenburger Tors sind gegenüber der Horizontalen leicht nach rechts gekippt.

Diesen Fehler kann man mit Photoshop leicht beheben.

Das Foto wurde 0,75° um die Bildachse gedreht. Wie leicht erkennbar verlaufen die Dachlinien am Brandenburger Tor nun horizontal. Von der Mitte der Straße aus (rechtes Bild) ließ sich eine absolut senkrechte Linie nach oben ziehen, die durch die Mitte des Mittelstreifens und auch (in der Vergrößerung sichtbar) kurz vor dem Brandenburger Tor noch in der Mitte des Mittelstreifens liegt. Zusammen mit zwei weiteren Linien (rechtes Bild) durch Straßenmarkierungen ergibt sich zusammen mit der lotrechten Linie der Fluchtpunkt, durch den der Horizont gelegt wurde. Vom Basispunkt (der durch die Kreuzung der lotrechten Linie und dem Bildunterrand gebildet wird) wurde eine Linie mit einem Winkel von 45° gezogen, der den Horizont im Punkt D schneidet. Das ist der Diagonalpunkt, von dem aus zu jedem Punkt auf der Fläche eine Diagonale gezeichnet werden kann. Das nächste Bild zeigt eine Übersicht.

Nun können die eigentlichen Messungen durchgeführt werden. Dazu wählt man am besten mehrere Schattenwürfe möglichst im Vordergrund aus. Weil im Vordergrund die perspektivische Verkürzung kleiner ist und der Abstand der Punkte P und S zum Referenzpunkt D größer ist, als bei einer Messung näher am Brandenburger Tor, ist der Meßfehler hier geringer. Für die Messung des Schattenwinkels wurden 5 gut erkennbare Punkte im Bildvordergrund ausgesucht (orange eingekreist).

Die Bestimmung des Winkels α bewirkt nur kleine Fehler, da die Positionierung pixelgenau ist. Wird die Strecke BP beispielsweise um 2 Pixel zu lang bestimmt, wird der Winkel spitzer und umgekehrt. Wird in Y-Richtung die gemessene Strecke um 2 Pixel kürzer, dann wird der Winkel α stumpfer, und wenn er 2 Pixel zu lang gemessen wird, dann wird er spitzer.

Bei einem Winkel von 45° sind beispielsweise Gegenkathete und Ankathete 500 Pixel lang. Wenn eine Seite um 2 Pixel zu lang und die andere um 2 Pixel zu kurz gemessen wird, ist der Tangens in einem Fall 498/502 und im anderen Fall 502/498. Die Winkel errechnen sich dann zu 44,77° oder 45,23°. Die Abweichung vom richtigen Winkel, der 45° beträgt ist also +- 0,23°. Da der Sonnenstand sich alle 4 Minuten um etwa 1° ändert, macht diese Ungenauigkeit etwa 55 Sekunden aus.

Problematischer als das Ausmessen der Koordinaten ist die Festlegung des Schattenwinkels. Dabei muss so genau wie möglich gepeilt werden. Diese Fehler lassen sich nicht vermeiden. Um ihn zu kompensieren wurden 5 Messungen vorgenommen. Die gefundenen Schattenwinkel wurden mittels dem oben angegebenen Dreisatz in die realen Schattenwinkel umgerechnet.

Die Straße des 17. Juni verläuft nicht exakt von West nach Ost, sondern weicht ein wenig in Richtung Nord ab. Das Bild zeigt den Sonnenhöchststand um 13:13. Es errechnete sich mit den schon besprochenen Methoden ein Winkel von 6°, ebenfalls mit einer Unsicherheit von +- 0,3 Grad. Das bedeutet, dass der Schatten genau bei einem Sonnenstand von 174,17° die Straße rechtwinkelig schneidet. Das war am 1.August um 12.59 der Fall. Zu den berechneten Schattenwinkeln müssen also noch 6° addiert werden. Nun werden die errechneten Winkel γ zu dem Winkel von 174,17° hinzu addiert. Aus dem so ermittelten Winkel kann dann mit dem Online-Tool sonnenverlauf.de der Zeitpunkt an dem das Foto entstanden ist ermittelt werden. Die 5 errechneten Werte lagen zwischen 13:19 und 13:39. Im Mittel bei 13:30.

Das Bild zeigt den Strahlenverlauf der Sonne und damit auch den Schattenverlauf um 15:39. Um den Schattenwinkel um 15:39 zu visualisieren, wurde wiederum das oben genannte online-tool benutzt. Um 15:39 stand die Sonne demnach 45,11° über dem Horizont und die Sonnenrichtung betrug 233,38°. Zieht man davon die Sonnenrichtung 174,17° ab, als der Schatten genau rechtwinkelig zur Straße fiel, dann ergibt sich ein Schattenwinkel γ von ca. 59° zur Horizontalen. Nun stellt man den Dreisatz nach β um:

β= γ*α/45

Nun wählen wir einen beliebigen Punkt aus, z.b. Punkt 1. Der Diagonalwinkel α betrug hier 46,83°. Eingesetzt in die Gleichung ergibt sich der Schattenwinkel β von 61,4°. Der Tangens für diesen Winkel beträgt 1,83.

Wäre das Foto um 15:39 entstanden, wäre der Schatten der 2 Personen im Vordergrund so verlaufen, wie eingezeichnet.

Fazit:

Es mit einer Ungenauigkeit von maximal 11 Minuten bewiesen, dass das Foto gegen 13:30 entstanden ist. Die Zeitangabe von 15:39, die die ARD-Pressestelle angab, ist daher nicht richtig:

"Das Foto stammt von der Agentur Imago. Es wurde, so teilte der Fotograf am vergangenen Sonntag auf Anfrage mit, um 15:39 Uhr aufgenommen - und zwar von der obersten Plattform der Siegessäule aus. Wir haben nach Ihrer Anfrage zur Sicherheit noch einmal bei dem Fotografen nachgefragt, der noch einmal in die Daten der Bilddatei geschaut hat. Das Ergebnis: 15:39 Uhr. Uns liegen die Daten vor." (ARD-Pressestelle)

Man könnte aus 13:39 einfach 15:39 machen, wenn man glaubt, dass die (gelöschte) Zeitangabe auf dem Foto die UTC-Zeit angab und man 2 Stunden (wg. Sommerzeit und Zeitverschiebung) hinzu addieren müsse. Tatsächlich würde man ja in London im Winter beim gleichen Sonnenstand die Zeit 13:39 messen. Aber diese Vermutung ist, so plausibel sie auch erscheint, Spekulation.

Der errechnete Schattenverlauf um 15:39 weicht erheblich vom Schattenverlauf um 13:30 ab. (Horst Käsmacher)