Das Kommunikationsdilemma der Reproduktionszahl R

Infektionszahl (y-Wert) als Funktion der Zeit

Wir setzen voraus, dass die Daten die notwendigen Anforderungen für die folgende Auswertung - zumindest im Wesentlichen - erfüllen. Zunächst veranschaulichen wir die Infektionszahl (y-Wert) als Funktion der Zeit in Tagen (x-Wert) in einem doppelt logarithmischen Netz. Wir erhalten für einzelne Zeitabschnitte einen Verlauf, der sich sehr befriedigend, mit einem Bestimmtheitsmaß von jeweils R2 > 0.99, durch Geradenabschnitte annähern lässt. Ohne tiefere mathematische Kenntnisse liefern Tabellenkalkulationsprogramme durch eine Trendlinie die zugehörige Potenzfunktion (im doppelt-logarithmischen Netz), also

Gleichung (1)

Mit:
y: die Infektionszahl, also die Anzahl der insgesamt Infizierten im Zeitraum x = 1 bis x.
x: die Zeit in Tagen (Tag 1 ist der 27. Januar 2020)
A: ist, der mathematischen Bedeutung nach, die Anzahl der Infizierten zum Tag 1, sofern Gleichung (1) den gesamten Zeitraum x≥1 beschriebe; der Parameter A ist aber nur im Zeitintervall x1 > 1 bis x2 > x1 definiert und ist deshalb eine mathematische Konstante für dieses Zeitintervall.
P: ist ein Exponent, eine Potenzzahl, Hochzahl, oder einfach die Potenz für den Zeitraum x1 bis x2.

Grafisch ergibt sich die Potenz P als Anstieg im doppelt logarithmischen Netz, ist also eine Änderung der Infektionszahl über der Zeit, weshalb wir P auch als Infektionsrate definieren:

Gleichung (2)

Bezüglich der Werte der Infektionsrate P können wir nun wie folgt unterscheiden:
P > 1:
d.h. die Infektionszahl nimmt entsprechend dem Wert der Infektionsrate stetig steigend zu, die täglichen Fallzahlen steigen von Tag zu Tag zunehmend an. Das Virus ist außer Kontrolle.
P
= 1:
d.h. die Infektionszahl steigt (nur) linear, die Zahl der täglichen Neuinfektionen bleibt konstant. Diese Eigenschaft hat die Infektionsrate mit der Reproduktionszahl R gemeinsam.
P < 1:
die Infektionszahl steigt weniger als linear; die täglichen Neuinfektionen nehmen stetig (geringfügig) ab. Bei hinreichend kleiner Zahl an Neuinfektionen ist das Virus beherrschbar. In dieser Situation befinden wir uns derzeit.
P = 0:
d.h., es finden keine Neuinfektionen mehr statt, die Infektionszahl bleibt konstant. Das Virus ist endgültig besiegt! Ja, wenn nicht eine "zweite Welle" kommt; wohl nicht gleich, aber später im Jahr?

Sind zu einem beliebigen Zeitpunkt x die Infektionszahl y und die Parameter A und P der Gleichung (1) bekannt, so kann die Infektionszahl in "die Zukunft extrapoliert" werden; z.B. unter der Annahme, die Infektionsrate P bliebe konstant. Ebenso lassen sich für verschiedene Annahmen höherer oder geringerer Infektionsraten P der jeweilige weitere Anstieg der Infektionszahl und hiermit die zu erwartende Zahl von Neuinfektionen berechnen. Man beachte, dass die Parameter A und P in Gleichung (1) gekoppelt sind, sodass für jede angenommene Potenz P zunächst der zugehörige Wert A aus Gleichung (1) bestimmt werden muss.

Als Faustregel ergibt sich: Eine Erhöhung der Infektionsrate um einen Faktor F zieht nach sich, dass die Zahl der Neuinfektionen am Folgetag um mindestens diesen Faktor erhöht ist und am darauffolgenden Tag um etwas mehr als diesen Faktor ansteigt, und so fort. Bei einer Verminderung der Rate um einen Faktor F fällt die Zahl der Neuinfektionen am Folgetag höchstens um diesen Faktor und vermindert sich in den Folgetagen jeweils um etwas weniger als diesen Faktor.

Hat man Ähnliches zur Verwendung der Reproduktionszahl R gehört? Für R = 1,10 weiß man, dass 100 Infizierte zu 110 weiteren Infektionen führen. Gut, oder schlecht; und was bedeutet dies für das weitere Ansteigen der Infektionszahl? Wir hören dann nur, dies berge die Gefahr eines erneuten "exponentiellen" Anstiegs.

Ausgehend von unserer Betrachtung zur Infektionsrate P, hätte man als Ziel postulieren können (ohne es im weiteren Verlauf ändern zu müssen): Die Infektionsrate muss mindestens bis zu einem Wert P ≤ 1, abgesenkt werden, wobei gleichzeitig die Zahl der täglichen Neuinfektionen möglichst auf ≤ 1000 absinken sollte. Die Begrenzung der Zahl täglich Neuinfizierter ergibt sich insbesondere aus einer limitierten Rückverfolgbarkeit von Infektionsketten und deren Unterbrechung. Wie verringert man die Infektionsrate und damit schrittweise die Zahl der Neuinfektionen? Sicher nur mit Ausschaltung von Infektionsmöglichkeiten, am konsequentesten durch vollständige Isolation.

Wir haben für unsere Analyse die Begriffe "Exponentieller Anstieg"; "Verdoppelungszeit" oder "Reproduktionszahl" nicht benutzt und man braucht diese Begriffe für eine öffentliche Kommunikation auch nicht. "Exponentieller Anstieg" wird gern umgangssprachlich verwendet, wobei sich nicht erschließt, was das für eine Sprache ist. Wenn denn gewollt, kann man eine Verdopplungszeit mit Gleichung (1) errechnen; diese ist zahlenmäßig geringfügig verschieden zu der aus einer Exponentialfunktion erhaltenen Verdopplungszeit.

Was die Reproduktionszahl anbelangt, nur noch so viel: R ≤ 1, so wie uns mitgeteilt, würde bedeuten, sollte der Autor nicht etwas völlig missverstanden haben, dass in unserer Betrachtung die Potenz P ≤ 1 sein müsste und die Zahl der Neuinfektionen konstant bliebe bzw. kleiner werden sollte. Wie die folgenden Ergebnisse zeigen, war dies erst ab etwa dem 26. April gegeben; laut RKI galt R ≤ 1 aber bereits ab dem 23. März. Warum, so fragen wir uns, ist der Widerspruch zwischen den vom RKI gemeldeten Fallzahlen und der Angabe einer Reproduktionszahl R nicht im RKI selbst aufgefallen? Aber er ist aufgefallen, vgl. Artikel von Florian Nill.