Das Kommunikationsdilemma der Reproduktionszahl R

Eine Analyse des Verlaufs der SARS-CoV-2-Infektionsrate P in Deutschland

Das Virus SARS-CoV-2 hält uns seit dem 27sten Januar in Atem - seit nun über 112 Tagen. Erst hieß es Nies- und Hustenetikette beachten und Hände mit Seife waschen. Nur Hände waschen? Warum empfahl uns niemand, anschließend das Gesicht zu waschen, da doch das Virus vornehmlich durch Tröpfchen und wie man inzwischen weiß, durch Aerosole übertragen wird, womöglich auch durch Schmierinfektion.

Und dann lernten wird das einprägsame Wort "Herdenimmunität". Dann folgte eine unsägliche Diskussion über die Schädlichkeit oder den Nutzen von Masken, wir nennen das jetzt Mund-Nase-Schutz. Wir verfolgten dann die Infektionszahlen. Jetzt seien wir im "exponentiellen Anstieg", ja was heißt das denn? Jetzt verdoppele sich die Infektionszahl jede Woche; als diese sich dann nach drei Tagen schon verdoppelt hatte, konnte man denken: Da wurde wohl der Exponent falsch eingeschätzt.

Dann wurden wir am 18. März von Herrn Wieler gewarnt, dass wir in ein, zwei Monaten 10 Millionen Infizierte haben könnten, wenn sich das Infektionsgeschehen so fortsetze (anhand der Extrapolation der bis zum 18.03. vorliegenden Daten, hätte man auch den 9. April oder den 25. April angeben können, je nach Extrapolation der Infektionszahlen mittels Exponential- oder Potenzfunktion). Alarm! Die Politik handelte dann schnell: Am 20.03. in Bayern, ab 23.03. bundesweit. Man nannte das "Shutdown" oder "Lockdown". Das notwendige "Abflachen der Kurve" wurde erreicht! Wir lernten Abstand halten und schließlich auch das Tragen eines Mund-Nase-Schutzes.

Verwirrung um Reproduktionszahl R

Dann fanden epidemiologische Maßzahlen Eingang in die öffentliche Kommunikation: Verdopplungszeit und später die Reproduktionszahl R, wurden gar zu Kriterien für politische Entscheidungen erhoben. Und man erklärte uns diese Maßzahlen, die neben den Infektionszahlen, der Gesamtzahl und den täglichen Neuinfektionen, in unserem Kopfe waren. Man erklärte auch, dass die Verdopplungszeit irgendwann nicht mehr so wesentlich sei, wegen "des Abflachens der Kurve".

Geblieben - und nach wie vor vorhanden - ist die Reproduktionszahl R: Diese müsse möglichst auf Eins und besser auf kleiner Eins abnehmen. Richtig! Doch dann waren wir erstaunt, dass R bereits seit dem 23. März im Bereich R ≤ 1 pendelte. Der ein oder andere meinte, irrtümlich daraus schließen zu können, dass die uns einschränkenden Maßnahmen also gar nichts gebracht hätte. Erklärungsversuche diverser Art folgten.

Nun, dieser Tage, war R wieder etwas größer als Eins, und wir waren davor doch schon bei R = 0,65; eine Pressekonferenz extra. Zwei Tage später wird wieder R < 1 verkündet. Und nun, nachdem der Berliner Senat die Reproduktionszahl R als eines von drei Kriterien in sein "Ampel-Modell" aufgenommen hat, unterscheidet man am RKI zwischen einer sensitiven und einer 7-Tage-Reproduktionszahl.

Was schließt der Bürger, wenn ihm solches kommuniziert wird? Jetzt will er es verstehen, der Bürger, oder er wendet sich ab! Der Autor jedenfalls wollte es verstehen. Nein, er ist kein besserwissender Hobby-Epidemiologe, schon gar kein Virologe, davon versteht er nichts. Das überlässt er den Fachwissenschaften. Aber da sind Zahlen, Infektionszahlen in Abhängigkeit von der Zeit. Damit kann eigentlich jeder Abiturient umgehen.

Wir schicken voraus: Die Entwicklung von Modellen und deren stetige Verbesserung zur Beschreibung einer Epidemie, auch zur Berechnung einer Reproduktionszahl R ist notwendig, sinnvoll und legitim. Das gehört zur Arbeit von Epidemiologen. Aber beim gegenwärtigen Wissensstand ist eine Reproduktionszahl R, so wie sie bisher angegeben wurde, völlig ungeeignet für eine öffentliche Kommunikation. Sie stiftet mehr Verwirrung, als sie aufklärt und kann keine Basis für politische Entscheidungen sein (war sie ja im Übrigen auch nicht), eine solche Zahl eignet sich also auch keinesfalls für ein "Berliner Ampelmodell".

Was tun? Werden wir tätig und analysieren die zeitliche Entwicklung der SARS-CoV-2-Infektionszahl. Als Datenquelle verwenden wir die Angaben der Berliner Morgenpost, diese Quelle erlaubt, die Zahlen auch im Rückblick zu verfolgen. Die Daten wurden mit Angaben des Berliner Tagesspiegel sowie mit dem Dashboard der John-Hopkins-Universität abgeglichen. In den letzten Wochen sind Angaben der Infektionszahlen aus diesen drei Quellen (wenigstens) frühmorgens identisch; bei Abweichungen verwenden wir die größte Zahl.

Infektionszahl (y-Wert) als Funktion der Zeit

Wir setzen voraus, dass die Daten die notwendigen Anforderungen für die folgende Auswertung - zumindest im Wesentlichen - erfüllen. Zunächst veranschaulichen wir die Infektionszahl (y-Wert) als Funktion der Zeit in Tagen (x-Wert) in einem doppelt logarithmischen Netz. Wir erhalten für einzelne Zeitabschnitte einen Verlauf, der sich sehr befriedigend, mit einem Bestimmtheitsmaß von jeweils R2 > 0.99, durch Geradenabschnitte annähern lässt. Ohne tiefere mathematische Kenntnisse liefern Tabellenkalkulationsprogramme durch eine Trendlinie die zugehörige Potenzfunktion (im doppelt-logarithmischen Netz), also

Gleichung (1)

Mit:
y: die Infektionszahl, also die Anzahl der insgesamt Infizierten im Zeitraum x = 1 bis x.
x: die Zeit in Tagen (Tag 1 ist der 27. Januar 2020)
A: ist, der mathematischen Bedeutung nach, die Anzahl der Infizierten zum Tag 1, sofern Gleichung (1) den gesamten Zeitraum x≥1 beschriebe; der Parameter A ist aber nur im Zeitintervall x1 > 1 bis x2 > x1 definiert und ist deshalb eine mathematische Konstante für dieses Zeitintervall.
P: ist ein Exponent, eine Potenzzahl, Hochzahl, oder einfach die Potenz für den Zeitraum x1 bis x2.

Grafisch ergibt sich die Potenz P als Anstieg im doppelt logarithmischen Netz, ist also eine Änderung der Infektionszahl über der Zeit, weshalb wir P auch als Infektionsrate definieren:

Gleichung (2)

Bezüglich der Werte der Infektionsrate P können wir nun wie folgt unterscheiden:
P > 1:
d.h. die Infektionszahl nimmt entsprechend dem Wert der Infektionsrate stetig steigend zu, die täglichen Fallzahlen steigen von Tag zu Tag zunehmend an. Das Virus ist außer Kontrolle.
P
= 1:
d.h. die Infektionszahl steigt (nur) linear, die Zahl der täglichen Neuinfektionen bleibt konstant. Diese Eigenschaft hat die Infektionsrate mit der Reproduktionszahl R gemeinsam.
P < 1:
die Infektionszahl steigt weniger als linear; die täglichen Neuinfektionen nehmen stetig (geringfügig) ab. Bei hinreichend kleiner Zahl an Neuinfektionen ist das Virus beherrschbar. In dieser Situation befinden wir uns derzeit.
P = 0:
d.h., es finden keine Neuinfektionen mehr statt, die Infektionszahl bleibt konstant. Das Virus ist endgültig besiegt! Ja, wenn nicht eine "zweite Welle" kommt; wohl nicht gleich, aber später im Jahr?

Sind zu einem beliebigen Zeitpunkt x die Infektionszahl y und die Parameter A und P der Gleichung (1) bekannt, so kann die Infektionszahl in "die Zukunft extrapoliert" werden; z.B. unter der Annahme, die Infektionsrate P bliebe konstant. Ebenso lassen sich für verschiedene Annahmen höherer oder geringerer Infektionsraten P der jeweilige weitere Anstieg der Infektionszahl und hiermit die zu erwartende Zahl von Neuinfektionen berechnen. Man beachte, dass die Parameter A und P in Gleichung (1) gekoppelt sind, sodass für jede angenommene Potenz P zunächst der zugehörige Wert A aus Gleichung (1) bestimmt werden muss.

Als Faustregel ergibt sich: Eine Erhöhung der Infektionsrate um einen Faktor F zieht nach sich, dass die Zahl der Neuinfektionen am Folgetag um mindestens diesen Faktor erhöht ist und am darauffolgenden Tag um etwas mehr als diesen Faktor ansteigt, und so fort. Bei einer Verminderung der Rate um einen Faktor F fällt die Zahl der Neuinfektionen am Folgetag höchstens um diesen Faktor und vermindert sich in den Folgetagen jeweils um etwas weniger als diesen Faktor.

Hat man Ähnliches zur Verwendung der Reproduktionszahl R gehört? Für R = 1,10 weiß man, dass 100 Infizierte zu 110 weiteren Infektionen führen. Gut, oder schlecht; und was bedeutet dies für das weitere Ansteigen der Infektionszahl? Wir hören dann nur, dies berge die Gefahr eines erneuten "exponentiellen" Anstiegs.

Ausgehend von unserer Betrachtung zur Infektionsrate P, hätte man als Ziel postulieren können (ohne es im weiteren Verlauf ändern zu müssen): Die Infektionsrate muss mindestens bis zu einem Wert P ≤ 1, abgesenkt werden, wobei gleichzeitig die Zahl der täglichen Neuinfektionen möglichst auf ≤ 1000 absinken sollte. Die Begrenzung der Zahl täglich Neuinfizierter ergibt sich insbesondere aus einer limitierten Rückverfolgbarkeit von Infektionsketten und deren Unterbrechung. Wie verringert man die Infektionsrate und damit schrittweise die Zahl der Neuinfektionen? Sicher nur mit Ausschaltung von Infektionsmöglichkeiten, am konsequentesten durch vollständige Isolation.

Wir haben für unsere Analyse die Begriffe "Exponentieller Anstieg"; "Verdoppelungszeit" oder "Reproduktionszahl" nicht benutzt und man braucht diese Begriffe für eine öffentliche Kommunikation auch nicht. "Exponentieller Anstieg" wird gern umgangssprachlich verwendet, wobei sich nicht erschließt, was das für eine Sprache ist. Wenn denn gewollt, kann man eine Verdopplungszeit mit Gleichung (1) errechnen; diese ist zahlenmäßig geringfügig verschieden zu der aus einer Exponentialfunktion erhaltenen Verdopplungszeit.

Was die Reproduktionszahl anbelangt, nur noch so viel: R ≤ 1, so wie uns mitgeteilt, würde bedeuten, sollte der Autor nicht etwas völlig missverstanden haben, dass in unserer Betrachtung die Potenz P ≤ 1 sein müsste und die Zahl der Neuinfektionen konstant bliebe bzw. kleiner werden sollte. Wie die folgenden Ergebnisse zeigen, war dies erst ab etwa dem 26. April gegeben; laut RKI galt R ≤ 1 aber bereits ab dem 23. März. Warum, so fragen wir uns, ist der Widerspruch zwischen den vom RKI gemeldeten Fallzahlen und der Angabe einer Reproduktionszahl R nicht im RKI selbst aufgefallen? Aber er ist aufgefallen, vgl. Artikel von Florian Nill.

Zu den Ergebnissen einer quantitativen Analyse der Infektionszahl

Anhand grafischer Darstellungen wie im Bild 1 wurden zunächst die Parameter der "am besten" angenäherten Potenzgleichungen für einzelne aufeinanderfolgende Zeitabschnitte x1 bis x2 ermittelt (Forderung R2 > 0,99). Diese werden in Tabelle 1 zusammengefasst angegeben.

Tabelle 1: Parameter der Potenzgleichungen für die Infektionszahl in DE vom 27. Januar bis 16. Mai 2020 für verschiedene Zeitabschnitte
(Die Ergebnisse in der Tabelle, wie auch in Nachfolgenden Abbildungen, basieren auf den Meldungen der Infektionszahlen der Berliner Morgenpost.)

Nach der anfänglichen Episode in Bayern, die beherrscht werden konnte, auch weil eine chinesische Geschäftsfrau unmittelbar nach Rückkehr über ihre während der Rückreise nach China ausgebrochene Erkrankung informierte (es ist zu hoffen, dass es dieser Frau gut geht und dass ihr jemand ausdrücklich gedankt hat) kamen Karneval oder Fasching und die woher auch immer rückkehrenden Ski-Urlauber. Diese lösten die zweite Phase eines meist so genannten "exponentiellen Anstiegs" aus und dauerte mit einer Infektionsrate P ≈ 12 über drei Wochen! Drei Wochen! Trotz der Erfahrungen aus China und Italien! Erst nach 10 Tagen wurden Großveranstaltungen abgesagt.

Die sich ab dem 21. März anschließenden Zeitabschnitte mit abnehmenden Infektionsraten hatten eine Zeitdauer von zunächst jeweils etwa einer Woche.

Bild 1 zeigt auszugsweise, wie sich die SARS-CoV-2-Infektionszahl (y-Achse, logarithmisch) mit der Zeit in Tagen (x-Achse, logarithmisch) entwickelt hat. Eingetragen sind die potentiellen Trendlinien, zur besseren Veranschaulichung extrapoliert in Vergangenheit und Zukunft. Die Potenzgleichungen sind nur für den Zeitabschnitt 2 und für den hier letzten, 11. Zeitabschnitt eingetragen.

Bild 1: Doppelt-logarithmische Auftragung der SARS 2 Infektionen in DE seit dem 27.01.2020; Datenpunkte aus angegeben Quellen;
Linien: Trendlinien potentiell und beispielhaft die dazu gehörenden Gleichungen für die Zeitabschnitte 2 und 11

Im Bild 2 werden alle seit dem 5. Februar 20 in der Berliner Morgenpost berichteten Fallzahlen dargestellt und mit den abschnittsweise mit Gleichung (1) berechneten Werten der Infektionszahl verglichen.

Bild 2: Sars-CoV-2-Infektionen in doppelt logarithmischer Auftragung der bestätigten Gesamtinfektionszahl im Vergleich mit dem berechneten Verlauf

Im Bild 3 stellen wir den zeitlichen Verlauf der Infektionsrate P dar. Im Gegensatz zu bisher vorgelegten Daten für die "Reproduktionszahl R" nimmt die Infektionsrate P seit Tag 54 (20. März) ab.

Bild 3: Darstellung der zeitlichen Abnahme der Infektionsrate (die eingetragenen Linien dienen nur der Führung des Auges)

Der Abfall der Infektionsrate P erfolgt stufenweise: Nach dem verteufelt langem Zeitabschnitt 2 zunächst nahezu im Wochenrhythmus, abgebildet von den abschnittsweise geltenden Potenzfunktionen. Dies kommt auch im Bild 4 zum Ausdruck, mit dem die täglichen Neuinfektionen dargestellt und mit den aus den Potenzfunktionen berechneten Werten verglichen werden.

Bild 4: Tägliche Neuinfektionen: Vergleich der gemeldeten Fallzahlen mit dem berechneten Verlauf

Im Bild 5 werden die 7-Tagemittel der gemeldeten Infektionszahlen mit den aus den Potenzfunktionen errechneten Ergebnissen vergleichsweise dargestellt.

Bild 5: 7-Tage-Mittel für Neuinfektionen – Vergleich der Mittel gemäß Quelle mit den aus den Potenzfunktionen berechneten Mittelwerten bis Tag 115. Ebenfalls angegeben sind die ab Tag 107 prognostizierten Verläufe an Neuinfektionen für verschiedene Infektionsraten P.

Zusammenfassung

Die zeitliche Entwicklung der SARS-CoV-2-Infektionszahl in Deutschland seit dem 27. Januar 2020 kann sehr zufriedenstellend durch eine Folge von Potenzfunktionen dargestellt werden: Die zeitliche Änderung der Infektionszahl im doppelt logarithmischen Netz kann deshalb durch eine Folge von Infektionsraten charakterisiert werden.

Zielstellung ist das Erreichen einer Infektionsrate P von P < 1 bei einer täglichen Anzahl von Neuinfektionen ≤ 1000 und abnehmend. Andere Parameter werden für eine öffentliche Kommunikation der zeitlichen Entwicklung der Infektionszahl (und sich daraus ergebender Konsequenzen) nicht benötigt.

Die Infektionsrate P stieg, nach der anfänglichen, beherrschten Episode in Bayern, ab etwa Tag 30 (25.02) sprunghaft auf den Wert von P = 12 an und blieb bis etwa Tag 54 (20.03.), also reichlich drei Wochen, konstant bei diesem Wert! Die um den 10. bzw. 16. März ergriffenen politischen Maßnahmen finden hier (erwartungsgemäß) noch keinen Niederschlag. Die entschiedenen Maßnahmen kamen nach dem 20. … 23. März. Etwa vier Wochen später fällt die Infektionsrate P unter Eins:

Ab dem 21.03. beginnt das "Abflachen des Kurvenverlaufs" mit Änderung der Potenz von 12 auf P = 7,7; weiter ab 27.03. auf P = 5,4; ab 03.04. auf P = 2,8; ab 12.04. auf P = 1,6; ab 20.04. auf P = 1,1 und schließlich seit 26.04. auf P = 0.77 um danach durch zufällige, örtlich begrenzte Ereignisse in kürzeren Abständen zu schwanken: Werte P von 0,42; 0,73 und zuletzt bis 16. Mai wiederum 0,42. Das 7-Tagemittel aus den berichteten Fallzahlen beträgt zum 16.Mai 668 Fälle und aus dem berechneten Verlauf resultiert ein 7-Tagemittel von 677 Neuinfizierten.

Wie Bild 4 anschaulich demonstriert, scheint der zeitliche Verlauf der täglichen Neuinfektionen, völlig unbearbeitet auch beeinflusst von Mängeln täglicher Erfassung und Meldung, dennoch einem Schema zu gehorchen: Der Verlauf ist nicht einfach ein Auf und Ab mit irgendeiner Tendenz! Es wird sich in den nächsten zwei Wochen zeigen, ob bei einer Infektionsrate P ≈ 0.5 ein Plateau bezüglich der 7-Tagemittel an Neuinfektionen erreicht wird.

Ob die Anfang Mai schrittweise in Kraft getretenen sogenannten "Lockerungen" den weiteren Verlauf beeinflussen werden, ist nicht vorhersagbar.

Unbeantwortbar bleibt ebenfalls die Frage unter welchen Bedingungen eine "zweite Welle" von SARS-CoV-2-Infektionen auftreten oder vermieden werden könnte. Es ist nicht auszuschließen, dass die Politik, der abnehmenden Einsicht und dem sich formierenden Widerstand nachgebend, spät handeln wird. Zumindest wird man dann wirklich besser gerüstet sein.

Offene Fragen

Der Autor stellt sich nun folgende spekulative Fragen (diesen muss man nicht folgen):

Wie wurde die derzeitige Infektionsrate von P ≈ 0,5 erreicht? Gehen dem stetigen aber schrittweisen Abfall dieser Rate Maßnahmen der letzten 15 bis 20 Tage voraus, die geeignet wären, diesen Abfall durch Eingriff von außen zu erklären? Ab dem 27. April gelten "Maskenschutz" und parallel dazu verschiedene "Lockerungen".

Gehorcht der Verlauf der SARS-CoV-2-Epidemie in Deutschland, bei allen z.T. großen regionalen Unterschieden, auch einer dieser Epidemie inhärenten "Gesetzmäßigkeit", wozu allerdings keine Erkenntnisse vorliegen? Der Autor hat keinerlei Zweifel, dass die ergriffenen politischen Maßnahmen zu einer "Abflachung der Kurve" wesentlich beigetragen haben, auch wenn dies im Einzelnen nicht quantitativ beweisbar ist.

Unterliegt das SARS-CoV-2-Virus im Verlaufe von Infektionsketten unter Nutzung menschlicher Wirtszellen einer Modifikation? Dies können Modifikationen bezüglich Konstitution und Konformation der RNA und / oder der Lipidhülle mit den Spikes und "Kronen" sein, um es jenseits einer virologischen Terminologie sehr allgemein auszudrücken. Es sind inzwischen eine Fülle von Mutationen des Virus bekannt.

Im Verlaufe einer Epidemie verbreiten und vermehren sich insbesondere solche Modifikationen, die besonders hohe Reproduktionszahlen des Virus mit sich bringen. Verschiedene Modifikationen können beim menschlichen Wirt unterschiedliche Auswirkungen auf den Krankheitsverlauf haben, "mehr oder weniger krank" machen, zu mehr oder weniger Todesfällen einerseits oder zu mehr oder weniger asymptomatischen Infektionen andererseits führen. Nadja Podbregar vermerkt dazu auf scinexx.de, dass "viele neu auftretende Virus(infektionen) im Laufe der Zeit zwar ansteckender, aber dafür harmloser werden. Denn für das dauerhafte Überleben eines Virus ist es eher ungünstig, wenn es seine Wirte zu schnell tötet oder zu krank macht – im Extremfall stirbt sein Wirt, bevor er andere anstecken kann. Auch das neue Coronavirus könnte daher im Laufe der Zeit an Aggressivität verlieren."

Sofern die vorausgehenden Sätze nicht völlig irrig sind, ist es dann möglich, dass die in Deutschland gegenwärtig vorherrschenden SARS-CoV-2-Mutationen inzwischen weniger krank machen? Oder: Wie anders kann der stetige stufenweise Abfall der täglichen Neuinfektionen innerhalb von jeweils etwa einer Woche, verbunden mit einer Abnahme der Infektionsrate auf gegenwärtig P ≈ 0.5 erklärt werden?

Und dann: Mutiert das Virus bei seiner Vermehrung an/in Wirtszellen von Kindern zu Modifikationen, die weniger aggressiv sind?

Sofern diese vorausgehenden Fragen und Gedanken aus virologischer Sicht nicht grundsätzlich verworfen werden müssen, also zulässig sind, folgte daraus nicht, dass wir eine "unmittelbare" neue Infektionswelle nicht befürchten müssten?

Diese spekulativen, "was wäre, wenn…" Fragen sind allenfalls vom Virologen zu beantworten; vermutlich liegen zum Einfluss von SARS-CoV-2-Mutationen auf das Krankheitsgeschehen aber noch keine belastbaren Erkenntnisse vor und können noch nicht vorliegen. In jedem Falle scheinen Forschungsarbeiten zum Einfluss von SARS-CoV-2-Mutationen und zum Einfluss der (verschiedenen) Wirtszellen auf die Ausprägung von Covid-19 sinnvoll und notwendig.

Auch hier soll nicht unausgesprochen bleiben: Eine neue Infektionswelle im weiteren Zeitablauf kann nach heutigem Wissensstand keinesfalls ausgeschlossen werden; dies macht der Verlauf der sogenannten Spanischen Grippe vor etwa 100 Jahren mehr als deutlich, vgl. Bild 6. Ein Eintrag anderer Mutationen von SARS-CoV-2 kann dabei eine wesentliche Rolle spielen.

Bild 6: Verlauf der Spanischen Grippe 1918 / 1919
(Quelle: http://blog.fefe.de/?ts=a0592462 und dort angegeben:
https://pbs.twimg.com/media/EWn7EBlXQAIugtD?format=jpg&name=large)

Dies alles ist nicht mehr als eine persönliche Sicht. Die vorliegende Analyse wurde nach bestem Wissen und Gewissen erstellt; Irrtümer und Fehler sind dennoch nicht ausgeschlossen. Die zuletzt formulierten Fragen und Gedanken sind persönlich und spekulativ.

Garantien für die Zukunft gibt es nicht. So gibt es auch keine Garantie, nicht einmal die Hoffnung, dass die "Reproduktionszahl R" einmal durch eine "Infektionsrate P" ersetzt wird. Aber Modelle zur "Abschätzung" von R werden künftig verbessert. Zumindest scheint das notwendig. Ich würde bei R0 beginnen…

Ein Spezifikum der Zukunft: Man kennt sie noch nicht!